各経路で

ｔを媒介変数にして積分してlog1-i-a/-1-i-aとかみたいなのの和になるだけで２πiにならないんですけどならなくていいんですか？
https://imgur.com/a/wBaXeoT

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 20:03

＞ 複素数での log は 2nπ 分の不定さがある多価関数だから

＞ そういう実数関数みたいな積分は急にしちゃだめだよ？

そのとおり。不定さは、2nπ じゃなく 2nπi (nは整数) だけどね。

多価関数は「関数」じゃないから、複素 log を一価正則な
普通の関数として扱うためには、「枝の選択」が必要になる。
多価である複素 log 値を各点でひとつづつ、各近傍で連続になるように
選択して繋いでゆくと、特異点 0 を除く複素数平面全体へ接続する
ことはできなくて、どうしても、0 と無限遠を結ぶ半閉半開の曲線上では
不連続になってしまう。そうやって枝選択した複素 log は、
その曲線上では不連続、それ以外の点では正則となる。
境界となる曲線は、かなり自由に定めることができるが、
実軸正部分とか実軸負部分とかに置くのが通常ではある。

今回の計算では、境界の曲線を、I の積分路となる正方形のどれかの頂点
を通るように設定すると扱い易い。例えば、原点から S1 と S4 の交点である
1-i を通って無限遠へ向かう半直線を境界とするような複素 log の枝を、
以下では LOG と書くことにしよう。
S1 での LOG(1-i) と S4 での LOG(1-i) は
留数定理により (2πi)∮[S] dz/(x-α) だけ値が違い、
lim[z→(1-i) via S4] LOG(z) = lim[z→(1-i) via S1] LOG(z) + 2πi となる。

I = I1 + I2 + I3 + I4 という式を考えるとき、
I1 の積分下端から出る LOG(1-i) と
I4 の積分上端から出る LOG(1-i) の間にこの式の関係があることから、
LOG(1+i), LOG(-1+i), LOG(-1-i), LOG(-1-i) が相殺した後に
I = 2πi が残ることになる。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 20:34

あ、違った。

訂正：

I1 = ∫[S1] 1/(z-α) dz
　　= ∫[-1,1] 1/{ (1+ti)-(a+bi) } (i dt)　　　
　　= ∫[-1,1] 1/{ (t-b)-(1-a)i } dt
　　= ∫[-1-b,1-b] 1/{ u-ci } du　　　　　　　　； この行を間違ってた
　　= ∫[-1-b,1-b] (u+ci)/{ (u-ci)(u+ci) } du
　　= ∫[-1-b,1-b] u/(u^2+c^2) du
　　　+ ∫[-1-b,1-b] ci/(u^2+c^2) du
　　= (1/2) ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 2w/(1+w^2) dw　　　
　　　+ i ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 1/(1+w^2) dw.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/09 20:25

全く別のアプローチとして、S1, S2, S3, S4 上の各積分を

実二次平面上での線積分と見て、実積分の話に帰着してしまう
という方法もある。

例えば、I1 = ∫[S1] 1/(z-α) dz
　　　　　= ∫[-1,1] 1/{ (1+ti)-(a+bi) } (i dt)　　　　　； z=1+ti
　　　　　= ∫[-1,1] 1/{ (t-b)-(1-a)i } dt
　　　　　= ∫[-1-b,1-b] 1/{ c-ui } du　　　　　　　　； t-b=u, 1-a=c
　　　　　= ∫[-1-b,1-b] (c+ui)/{ (c-ui)(c+ui) } du
　　　　　= ∫[-1-b,1-b] c/(c^2+u^2) du
　　　　　　+ (i/2) ∫[-1-b,1-b] 2u/(c^2+u^2) du
　　　　　= ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 1/(1+w^2) dw　　　　； cu=w
　　　　　　+ (i/2) ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 2w/(1+w^2) dw.
最下行に現れる積分は、どちらも実関数を実区間で積分している。

I2, I3, I4 も同様に計算すると、I = I1 + I2 + I3 + I4 の右辺から
∫2w/(1+w^2) dw = log(1+w^2) に由来する項は相殺されて、
∫1/(1+w^2) dw = arctan w に由来する項だけが残ることになる。
式を整理すると、 I = 2πi になる。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/12 15:14

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/09 18:55

α=0のとき

z=re^(it)
とすると
dz=(ir)e^(it)dt
1/z=(1/r)e^(-it)
だから

I1
=∫[S1](1/z)dz
=i∫[-π/4～π/4]dt
=iπ/2

I2
=∫[S2](1/z)dz
=i∫[π/4～3π/4]dt
=iπ/2

I3
=∫[S3](1/z)dz
=i∫[3π/4～5π/4]dt
=iπ/2

I4
=∫[S4](1/z)dz
=i∫[5π/4～7π/4]dt
=iπ/2

I1+I2+I3+I4=iπ/2+iπ/2+iπ/2+iπ/2=2πi

この回答へのお礼

お礼日時：2024/08/09 19:53

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/09 16:56

α=0のとき

1-i=(√2)e^(-iπ/4)
1+i=(√2)e^(iπ/4)
だから
log(1-i)=log(√2)-iπ/4
log(1+i)=log(√2)+iπ/4
だから
I1=log(1+i)-log(1-i)=iπ/2

1+i=(√2)e^(iπ/4)
i-1=(√2)e^(i3π/4)
だから
log(1+i)=log(√2)+iπ/4
log(i-1)=log(√2)+i3π/4
だから
I2=log(i-1)-log(1+i)=iπ/2

i-1=(√2)e^(i3π/4)
-1-i=(√2)e^(i5π/4)
だから
log(i-1)=log(√2)+i3π/4
log(-1-i)=log(√2)+i5π/4
だから
I3=log(-1-i)-log(i-1)=iπ/2

-1-i=(√2)e^(i5π/4)
1-i=(√2)e^(i7π/4)
だから
log(-1-i)=log(√2)+i5π/4
log(1-i)=log(√2)+i7π/4
だから
I4=log(1-i)-log(-1-1)=iπ/2

I1+I2+I3+I4=iπ/2+iπ/2+iπ/2+iπ/2=2πi

この回答へのお礼

だめだよ。複素数でのLogは2nπ分の不定さがある多価関数だからそういう字数う関数みたいな積分はきゅうにしちゃだめだよ？

お礼日時：2024/08/09 18:03