数学 不等式の表す領域

問題
|x|+|y|≦1 が表す領域を図示せよ。

解答
※添付画像

質問
青色の点線で囲った部分について質問です。
x≧0、y≧0のとき|-x|=x、|-y|=yということが言えれば、|x|+|y|≦1はx+y≦1(x≧0、y≧0)の部分とそれをx軸、y軸、原点で対称移動した部分をあわせたものといえるのはなぜですか。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/27 14:27

図形を扱うとき、対称性って大切です。

|x|+|y|≦1 を x軸対称に移動すると、|x|+|-y|≦1,
y軸対称に移動すると、|-x|+|y|≦1.
どちらも、|x|+|y|≦1 と同じ式ですね？
と、いうことは、|x|+|y|≦1 が表す領域は
x軸対称, ｙ軸対称だということです。

ならば、|x|+|y|≦1 が表す領域のうち
x≧0, y≧0 の範囲にある部分だけを図示した後、
x軸対称, ｙ軸対称になるように拡張しても
領域全体を得ることができますね？

x≧0, y≧0, |x|+|y|≦1 ⇔ x≧0, y≧0, x+y≦1
ですから、この部分を図示するのは、
絶対値を扱う必要がなく、やや簡単です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/27 13:33

場合分けを

(i) x ≧ 0, y ≧ 0

だけで考えて

(ii) x < 0, y ≧ 0
は |x| = |-x| = -x なので (i) を y 軸に対称にしたもの。
これは (i) の「x」を「-x」にしたものと考える。

(iii) x ≧ 0, y < 0
は |y| = |-y| = -y なので (i) を x 軸に対称にしたもの。
これは (i) の「y」を「-y」にしたものと考える。

(iv) x < 0, y < 0
は |x| = |-x| = -x、|y| = |-y| = -y なので (i) を x 軸、y 軸に対称にしたもの。
これは (i) の「x」を「-x」に、「y」を「-y」にしたものと考える。

ということなのでしょう。

「直感」「言われた通り」ではなくて、ちょっと「想像力」を働かせないいけないかもしれませんね。
なので「別解」にしているのでしょう。