-1≦x≦1 -1≦y≦1 を満たすとき x+y、xyの最大値最小値を求めよ

-1≦x≦1　-1≦y≦1　を満たすとき　x+y、xyの最大値最小値を求めよ

xyの最大最小の方なのでが一文字固定で解きたいのですが
どうもうまくいきません。どなたかわかる方教えてもらえますでしょうか。
お願い致します。

質問者からの補足コメント

• ↓下の文
  -2≦k≦2の間違いです。

    補足日時：2024/09/03 22:01

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/03 21:43

-1≦x≦1

-1≦y≦1

-2≦x+y≦2
だから
x=1,y=1のときx+yの最大値2
x=-1,y=-1のときx+yの最小値-2

(0≦x≦1)&(0≦y≦1)のとき　0≦xy≦1
(-1≦x≦0)&(-1≦y≦0)のとき 0≦xy≦1
(0≦x≦1)&(-1≦y≦0)のとき　-1≦xy≦0
(-1≦x≦0)&(0≦y≦1)のとき　-1≦xy≦0
だから
-1≦xy≦1
だから
(x=1,y=1)or(x=-1,y=-1)のとき　xyの最大値1
(x=1,y=-1)or(x=-1,y=1)のとき　xyの最小値-1

この回答へのお礼

確かにそれぞれの範囲で片方固定して直線とみなしていけば
最大値最小値がでます。ありがとうございます。

お礼日時：2024/09/03 21:59

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/03 23:29

No.1&4 です。

#2 さんへの「お礼」について。

＞x+y=k ,y=k-x, これで-2≦k-x≦2を求めて、xy=x(k-x)。　
kを固定し、これをxの2次式とみなし、x動かしてそのあとkを動かすと
最小値が-3になってしますのです。何かがおかしいのですが・・・

y = k - x　　　　　①
-1 ≦ y ≦ 1
なのだから、「-2≦k-x≦2」にはなりません。
-1 ≦ k - x ≦ 1 　　　②
でしょう。

「k を固定し」って、k の最大・最小を求めたいのだから、固定する意味が分からない。
②を
　x - 1 ≦ k ≦ x + 1
として、「x の範囲」で k の最大・最小を求めればよいだけのこと。

この回答へのお礼

-2≦k=x+y≦2 の間違いです。
こうしておいてxy=x(k-x)として求めようとしました。
ありがとうございます。

お礼日時：2024/09/04 08:44

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/03 23:17

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞線形計画での解き方、一文字固定の解き方両方知りたいのですが。

一文字固定というものがよく分かりませんが
　-1 ≦ x ≦ 1　　　①
　-1 ≦ y ≦ 1　　　②
のとき

（１）x + y = k とおく。
(1a) 最大：
　y = k - x
なので、②より
　-1 ≦ k - x ≦ 1
→　x - 1 ≦ k ≦ x + 1
①より
　-2 ≦ k ≦ 2

（２）xy = t とおく。
・x=0 のとき t=0
・x>0 のとき
　y = t/x
②より
　-1 ≦ t/x ≦ 1
→　-x ≦ t ≦ x
①より
　　-1 ≦ t ≦ 1
・x<0 のとき
　y = t/x
②より
　-1 ≦ t/x ≦ 1
→　-x ≧ t ≧ x
①より
　　-1 ≦ t ≦ 1

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かに双曲線の式でもxを場合分けし
tの値を考えていけば一文字固定です。
y=t/xのときいろいろ調べていると、双曲線グラフを
xy平面でx,yの範囲を示す正方形に近づけていく線形計画法
がいっぱいあったのでそう考えました。

お礼日時：2024/09/03 23:36

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/09/03 21:24

「一文字固定」って x,y は お互い関係なく

指定の範囲内で 適当な値をとれるのでしょ。
「 -1≦x≦1　-1≦y≦1 」ならば
x=1, y=1 又は x=-1, y=-1 の時 xy=1 。
x=1, y=-1 又は x=-1, y=1 の時 xy=-1 。
つまり「 -1≦xy≦1」にしか ならないのでは。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
そうです。x,yは互いに独立で動くので、頭で考えたら最大1、最小-1
と思うのですが、こういう時、使いようがないということなのでしょうか。
一文字固定の使い方がいまいち、よくわからないのです。
x+y=k ,y=k-x, これで-2≦k-x≦2を求めて、xy=x(k-x)。　
kを固定し、これをxの2次式とみなし、x動かしてそのあとkを動かすと
最小値が-3になってしますのです。何かがおかしいのですが・・・

お礼日時：2024/09/03 21:36

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/09/03 20:41

（A）まずは、グラフに

　-1 ≦ x ≦ 1
　-1 ≦ y ≦ 1
の範囲を書き込んでください。
原点周りに「正方形」が書けますね。

（B）次に
　x + y = k　　　①
として
　y = -x + k　　　②
のグラフを書きます。
k は②の直線の「ｙ切片」になります。
（A）で書いた正方形を通って、k が最大、最小になるようにグラフを書きましょう。

そのｙ切片（k の値）が、「x + y = k」の最大値、最小値になります。
つまり（A）の条件満たす (x, y) のうち、「x + y = k」を最大、最小にする (x, y) がそれになるわけです。

（C）次に
　xy = t　　　③
のグラフを書きます。
双曲線になりますね。x, y の正負の組合せで、４本書けますね。
その各々で、（A）で書いた正方形を通って、t が最大、最小になるようにグラフを書きましょう。
t≧0 のとき（「x≧0 かつ y≧0」、または「x≦0 かつ y≦0」のとき）には、絶対値が最大のものが「最大」になります。
t≦0 のとき（「x≧0 かつ y≦0」、または「x≦0 かつ y≦0」のとき）には、絶対値が最大のものが「最小」になることに注意しましょう。

その t の値が、「xy = t」の最大値、最小値になります。
つまり（A）の条件満たす (x, y) のうち、「xy = t」を最大、最小にする (x, y) がそれになるわけです。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。これも一文字固定になるのでしょうか。
線形計画での解き方、一文字固定の解き方両方知りたいのですが。

お礼日時：2024/09/03 20:56