牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?

確率の問題で質問です。
サイコロを3回続けて投げる時、出る目の最大値が4である確率について、一発の計算で求めるにはどうすればいいでしょうか。

A 回答 (7件)

3回振ったサイコロの3回の目の中で最大が4になるという問題だとすると、



最大が4になるということを言い換えると、
最大値が4以下(全ての目が4以下)であり、かつ最大値が3以下ではない(全ての目が3以下ではない)ということです。
ということで求める確率は
(全ての目が4以下になる確率)ー(全ての目が3以下になる確率)となります。

全ての目が4以下になる確率は、(4/6)^3=64/216
全ての目が3以下になる確率は、(3/6)^3=27/216
したがって、最大値が4になる確率は64/216ー27/216=37/216となります。
もちろん一発の計算でということであれば、
(4/6)^3ー(3/6)^3=37/216
です。

ただし、この考え方を瞬時に思いつくのは知らなければ難しいかもしれません。
そうであれば、#6さんのように地道に漏れや重複がないように計算するのが一番早いかもしれません。
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問題文の日本語をしっかりと読解しないといけないけど、おそらく


(1) 3回のうち、最低1回は「4」が出る。
(2) 残りの2回は「4以下」であればよい。
ということなのでしょう。

どういう「目の出方」の組み合わせならそうなるかといえば

(a1) 1回目に「4」、2回目・3回目は「4以下」
(a2) 2回目に「4」、1回目・3回目は「4以下」
(a3) 3回目に「4」、1回目・2回目は「4以下」

この「目の出方」は
 3C1 × 1 × 4 × 4 = 48 とおり

でもよさそうですが、これだと「3回とも『4』の目」や「2回『4の目』が出る」ケースをダブってカウントすることになります。
ダブるのは
・3回とも『4』の目:(a1)~(a3) の各ケースで1とおりずつ→計3とおり
・2回『4』の目(残りの1回は「1~3」のいずれか):(a1)~(a3) の各ケースで6とおりずつ→計18とおり
なのでこれを差し引き、あらためて

・3回とも『4』の目:全体で1とおり
・2回『4』の目(残りの1回は「1~3」のいずれか):全体で 3 × 3 = 9 とおり
を加えて

 48 - 21 + 1 + 9 = 37 とおり

そんな面倒なことをするぐらいなら、最初から

(b1) 1回目に「4」、2回目・3回目は「3以下」
(b2) 2回目に「4」、1回目・3回目は「3以下」
(b3) 3回目に「4」、1回目・2回目は「3以下」

この「目の出方」は
 3C1 × 1 × 3 × 3 = 27 とおり

を計算して、これに
・3回とも『4』の目:全体で1とおり
・2回『4』の目(残りの1回は「1~3」のいずれか):全体で 3 × 3 = 9 とおり
を加えて
 27 + 1 + 9 = 37 とおり

とするのがよさそうです。

いずれも「一発の計算」では無理なので、論理的にひとつひとつ、「全部を網羅したか(抜けはないか)、ダブりはないか」と確認しながら進めるのがまっとうなやり方です。
数学って、そういう「試行錯誤しながら、解き方を探していく」ものなのです。論理的、客観的に、ドンくさく。
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>出る目の最大値が4である確率



max(1回目の目、2回目の目、3回目の目) = 4

と解釈するのが妥当だと思うよ。

>「出る目が4以下である確率」

1回目の目 ≦ 4 かつ 2回目の目 ≦ 4 かつ  3回目の目 ≦ 4)
= max(1回目の目、2回目の目、3回目の目) ≦ 4

でだいぶ意味が違う。
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「出る目の最大値が4である確率」と「出る目が4以下である確率」とどう違うの??同じ意味なら、


(4/6)^3=(2/3)^3=8/27
では?
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一発で計算というのは無いかな。



やり方(1)
①全て4以下 4^3=64通り
②全て3以下 3^3=27通り

①のうち4を1回以上含むのは ①―②=37通り。

全部で6^3=216通りだから
37/216

やり方(2)
①全て4 1通り。
②4が2回、他は3以下
3C2×3=9通り
③4が1回、他は3以下
3C1×3^2=27通り
①十②十③=37通り。

全部で6^3=216通りだから
37/216
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求めるべき確率


=全ての回で4以下の目が出る確率
-全ての回で3以下の目が出る確率
=(4/6)³-(3/6)³
=37/216
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> 出る目の最大値が4である確率について、


この意味は?
出る目が4である、との違いは?
出る目の最大値が4である、と言うサイコロは無いので。

条件が明確でないと、誰も解答はできません。
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