No.18ベストアンサー
- 回答日時:
> ということはωのような形になるのですか?
「ωのような形」ってなんやねんな。
「代数的数」ってのは、整数係数多項式の根であるような数
という意味の言葉だから、X^5=1 の解って言ってる時点で
最初から X は代数的数に決まっている。
そんなのは言うまでもないことだが、代数的数かどうかと
その数が整数の四則演算と冪根だけを使って表せるか?や
その実部,虚部が整数の四則演算と冪根だけを使って表せるか?は
全く別の話。
5次以上の方程式の根の中には、代数的数だが
整数の四則演算と冪根だけを使って表せないものがあるというのが、
よくガロア理論と呼ばれる、アーベル・ルフィニの定理だった。
No.2 No.14 で言ったのは、
X^5=1 の解の実部,虚部は、整数の四則演算と冪根だけどころか
整数の四則演算と平方根だけを使って表せる という話。
これは、更に強い条件だ。
その表し方は、実際に方程式を解いてみることでも得られるが、
複素数平面上で単位円に内接する正五角形をユークリッド作図
することでも得られる。というか、この作図によって方程式
X^5=1 を解くことができる。 参考↓
https://www.suri-joshi.jp/enjoy/pentagon/
ちな、ガウスが幼少時に数学者になることを決めたのは、
X^17=1 の解が整数の四則演算と平方根だけを使って表せる
ことを証明して自信を得たから ってのは、数学おじが好む逸話。
X^5 = 1 の解を具体的に表示しとくと、
X = 1,
X = { -1 ± √5 }/4 ± i {√(10 - 2√5) }/4 ;復号任意
の計 5 個。
>X^5 = 1 の解を具体的に表示しとくと、
X = 1,
X = { -1 ± √5 }/4 ± i {√(10 - 2√5) }/4
おおっ!これは素晴らしい。この具体的な答えが欲しかったのです。これってネット検索しても見つかりませんでした。ありがとうございます。
代数的数と整数係数多項式の根は同じことですね。躓いていました。
No.14
- 回答日時:
←No.2 補足
> 要は、5つの解とも複素数の形で表せるのか?ということです。
解は、正五角形の頂点だって言っているでしょう?
正五角形は、定規とコンパスだけを使って作図できる図形です。
ということは、その頂点の座標は、冪根どころか
加減乗除と平方根だけを使って算出できる値です。
No.12
- 回答日時:
No.10
- 回答日時:
x^5=1
の
解1はe^{2πi/5}の5乗
1=(e^{2πi/5})^5
解e^{2πi/5}はe^{2πi/5}の1乗
e^{2πi/5}=(e^{2πi/5})^1
解e^{4πi/5}はe^{2πi/5}の2乗
e^{4πi/5}=(e^{2πi/5})^2
解e^{6πi/5}はe^{2πi/5}の3乗
e^{6πi/5}=(e^{2πi/5})^3
解e^{8πi/5}はe^{2πi/5}の4乗
e^{8πi/5}=(e^{2πi/5})^4
と
e^{2πi/5}のべき乗の形で表せます
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