a+b=1のとき a²+b² > ab 解説お願いします

a+b=1のとき a²+b² > ab

解説お願いします

質問者からの補足コメント

• a+b=1のとき a+b>ab もお願いします

    補足日時：2024/09/28 18:46

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/28 20:25

a+b=1

b=1-a

a²+b²-ab
=a²+b(b-a)
=a²+(1-a)(1-2a)
=3a²-3a+1
=3(a-1/2)²+1/4
≧1/4
>0

∴
a²+b²>ab

a+b-ab
=a+b(1-a)
=a+(1-a)²
=a²-a+1
=(a-1/2)²+3/4
≧3/4
>0

∴a+b>ab

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/30 00:44

まず　a=b=1/2 なら左辺=a^2+b^2=(1/2)^2+(1/2)^2=1/2 >1/4=ab

2次のコーシーシュワルツの不等式から
a^2+b^2>(a+b)^2 /(1+1)=1/2 より
1/2-ab=1/2-a(1-a)=a^2-a+1/2=(a-1/2)^2 +1/4>0

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/09/30 00:36

(2/2)(a^2+b^2 -ab)=(1/2){a^2+b^2+(a-b)^2}>0

(なお　a=b=1/2 のとき 右辺=(1/2)(1/4+1/4)=1/4>0　)

b=1-aより
a+b-ab=a+(1-a)-a(1-a)=a^2 -a+1=(a- 1/2)^2 +3/4>0

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/09/28 20:44

カンニングや宿題の代行はしないぞ。

a,bのどちらかが負の場合、a²+b²>0でab<0だから無条件に成立つ。
a,b両方とも負なら、a+b=1では無いから、a,b両方とも正の場合を考える。

>>a+b=1のとき a+b>ab もお願いします
上を解く時に出てくる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/28 19:24

相加相乗平均の関係から、

a² + b² ≧ 2√(a²b²) = 2｜ab｜ ≧ ｜ab｜ ≧ ab.

a² + b² ≧ 2√(a²b²) の等号成立が a² = b² のとき、
2｜ab｜ ≧ ｜ab｜ の等号成立が ab = 0 のとき、
｜ab｜ ≧ ab の等号成立が ab ≧ 0 のとき だから、
a² + b² ≧ ab の等号成立は a = b = 0 のときである。
条件 a + b = 1 の下では a = b = 0 は成立しないから、
a² + b² > ab.

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/09/28 19:09

a^2+b^2>ab →(a+b)^2 >3ab → 1>3ab

→abの最大値<1/3 を示せば良い。

ab=a(1-a)=-a^2+a=-(a-1/2)^2+1/4≦1/4<1/3

追加の質問は ab<1 だから、もう解けてる。