家・車以外で、人生で一番奮発した買い物

2024.5.8 08:24の質問の

2024.5.11 16:58の解答の

「f(z)がz=aでj位の極をもつとき
f(z)=Σ{n=-j~∞}a(n)(z-a)^n

g0(z)=f(z)(z-a)^j

a(n)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j

a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
とすると
a(n)=res(gn(z),a)

gn(z)はz=aでk=n+j+1位の極をもつから

res(gn(z),a)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)g0(z)」


と2024.5.11 20:25の解答の

「f(z)がz=aでj位の極をもつとき

としたから

z=aでj位の極をもつf(z)を(z-a)^(n+1)で割った

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

はz=aでk=n+j+1位の極をもつ」

に関して質問があります。


質問①,
k=n+j+1位に関して、なぜkをn+j+1位と置けるのでしょうか?

質問②,
なぜjという変数を使う必要があったのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 質問が2つあります。

    ①、
    2024.10.4 19:50に頂いた解答の
    「g0(z)をf(z)/(z-a)とするのは間違いです

    gn(z)を使わないで
    gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
    としないで
    f(z)/(z-a)^(n+1)をそのまま使うのです」

    と書いてありますが、

    その後に、

    2024.10.4 22:54に頂いた解答の
    「g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)やg(z)=f(z)(z-a)は間違いです

    gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

    nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
    g(z)よりは
    正しいのです間違いではありません

    g(z)は間違いです」...❶

    と頂きました。

      補足日時:2024/10/05 23:44
  • gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)としてはいけないと書いた後に、
    なぜgn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)は間違いでないと訂正したのでしょうか?

    gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)は間違いで、正しくはh(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)ではなかったのでしょうか?


    ②、
    ❶に関して、
    「gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

    nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
    g(z)よりは
    正しいのです間違いではありません」
    と書いてありますが、

    なぜ、「g(z)よりは
    正しいのです」と書いたのでしょうか?
    「g(z)」が出てきた理由がよくわかりません。

      補足日時:2024/10/05 23:45
  • 右辺がtan(z)/(z-π/2)^(n+1)でも
    tan(z)(z-π/2)でも、
    f(z)/(z-a)^(n+1)でも、
    f(z)(z-a)でも、
    なんでもいいとわかりました。

    この考えでよろしいでしょうか?


    質問②に関しては、
    こちらの解答より、

    「f(z)がz=aでj位の極を持つとき

    g(z)=f(z)(z-a)^j

    とするのだから

    同じ変数g(z)や似たような変数gn(z)を

    f(z)/(z-a)^(n+1)

    使ってはいけません」

    また、
    2024.10.4 22:54の解答より、

    「gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

    nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
    g(z)よりは
    正しいのです」

    と言う理由により、

    2024.10.4 22:54に頂いた解答の

    「g(z)よりは
    正しいのです」と書いたとわかりました。

      補足日時:2024/10/06 09:42
  • ですが疑問があります。
    こちらの解答より、

    「同じ変数g(z)や似たような変数gn(z)を

    f(z)/(z-a)^(n+1)

    使ってはいけません」

    と書いてありますが、

    2024.10.4 22:54の解答より、

    例えば、左辺の変数が、変数g(z)や似たような変数gn(z)になるとしても、

    g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
    g(z)=f(z)(z-a)の2つの式の左辺が同じ変数g(z)である為、間違いですが、

    gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
    g(z)=f(z)(z-a)の2つの式の左辺が異なる変数gn(z)と変数g(z)である為、間違いではないのではないでしょうか?

    変数g(z)と変数gn(z)は似ているだけで違う変数なのですから、f(z)/(z-a)^(n+1)に使ってはいけないと言うのは言い過ぎではないでしょうか?

      補足日時:2024/10/06 09:42
  • gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

    hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

    g0(z)=tan(z)(z-π/2)

    g(z)=tan(z)(z-π/2)

    gn(z)

    hn(z)

    g0(z)

    g(z)

    gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

    h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

    g0(z)=f(z)(z-a)

    g(z)=f(z)(z-a)

    gn(z)

    hn(z)

    g0(z)

    g(z)

    のように置き換えれば良いとわかりました。

      補足日時:2024/10/06 10:45

A 回答 (19件中1~10件)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)



g(z)=f(z)(z-a)

似ているだけで違うけれどもあなたが混同するから
使ってはいけません
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g(z)よりは


正しいけれども
gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

良くない
gnのnを0にしたとき一致しないからだめ
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    • 3
この回答へのお礼

では、こちらの解答より、

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

の2つの式の左辺の変数をgn(z)とg0(z)とすると、
gnのnを0にした時に、

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

の2つの式の右辺の式が一致しないとの事なので、...③

結論として、

2024.5.8 08:24の質問の
2024.5.10 10:22、2024.5.11 16:58、2024.5.11 20:25に頂いた解答と、

2024.9.29 17:12の質問の
2024.9.29 20:47、2024.9.29 21:36、
2024.9.30 03:58、2024.9.30 04:03、2024.9.30 22:08、2024.10.1 03:51、2024.10.2 14:33、2024.10.3 19:36、2024.10.4 04:02、2024.10.4 05:37、2024.10.4 10:48、2024.10.4 19:50、2024.10.4 20:21、2024.10.4 22:54、2024.10.4 22:58、2024.10.5 04:13
に頂いた解答の

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

gn(z)
g0(z)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
g0(z)=f(z)(z-a)

gn(z)
g0(z)

の部分は
2024.10.5 04:13の解答の

>> gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いで
どうしても変数を使いたければ
hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)(z-π/2)
と書くべきでした

より、

(★上に書いた③の様に、gnのnを0にした時に、

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

の2つの式の右辺の式が一致しないなどの矛盾を起こさない為に、以下の様に、)

お礼日時:2024/10/06 10:44

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)


よりは
gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
の方がよい
gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
よりは
h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
の方がよい
h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
よりは
hn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
の方がよい
hn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
よりは
f(z)/(z-a)^(n+1)

そのままの方が最もよい

f(z)がz=aでj位の極を持つとき

g(z)=f(z)(z-a)^j

とするのだから

同じ変数g(z)や似たような変数gn(z)を

f(z)/(z-a)^(n+1)

使ってはいけません
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この回答へのお礼

えと、
正しくは、

2024.5.8 08:24の質問の
2024.5.10 10:22、2024.5.11 16:58、2024.5.11 20:25に頂いた解答と、

2024.9.29 17:12の質問の
2024.9.29 20:47、2024.9.29 21:36、
2024.9.30 03:58、2024.9.30 04:03、2024.9.30 22:08、2024.10.1 03:51、2024.10.2 14:33に頂いた解答の

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

gn(z)
g0(z)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
g0(z)=f(z)(z-a)

gn(z)
g0(z)

の部分は

>> gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いで
どうしても変数を使いたければ
hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)(z-π/2)
と書くべきでした

より

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

g0(z)=tan(z)(z-π/2)

g(z)=tan(z)(z-π/2)

gn(z)

hn(z)

g0(z)

g(z)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

g0(z)=f(z)(z-a)

g(z)=f(z)(z-a)

gn(z)

hn(z)

g0(z)

g(z)

と置き換えれば良いと思ったのですが、


こちらに頂いた解答より、

左辺の変数が、変数g(z)や似たような変数gn(z)にならなければ、

(例えば、左辺の変数が、変数g(z)や似たような変数gn(z)にならなければ、 gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2))として、
gn(z)の右辺がtan(z)/(z-π/2)^(n+1)でも、
g0(z)の右辺がtan(z)(z-π/2))でも良い為、)

お礼日時:2024/10/06 09:02

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)


g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いで
どうしても変数を使いたければ
hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)(z-π/2)
と書くべきでした
とにかく
tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

tan(z)(z-π/2)

同じ変数を使ってはいけません
あなたは違うものに同じ変数を使って何度も混同しているのだから
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この回答へのお礼

2つ前の解答の

>> gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
g(z)よりは
正しいのです間違いではありません

のgn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)を
gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)だと見間違ってしまい、

「2024.10.3 19:36に頂いた
「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いでした」
は間違いでしたと書いてありますが、正しかったと言う事ですか?」

と質問してしまいました。



正しくは、

2024.5.8 08:24の質問の
2024.5.10 10:22、2024.5.11 16:58、2024.5.11 20:25に頂いた解答と、

2024.9.29 17:12の質問の
2024.9.29 20:47、2024.9.29 21:36、
2024.9.30 03:58、2024.9.30 04:03、2024.9.30 22:08、2024.10.1 03:51、2024.10.2 14:33に頂いた解答の

gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
g(z)=f(z)(z-a)

の部分は、

>> gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いで
どうしても変数を使いたければ
hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)(z-π/2)
と書くべきでした

より、

hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)(z-π/2)としたり、

h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
g(z)=f(z)(z-a)

とすれば良いとわかりました。


また、
hn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
のn=0としても、h0(z)=tan(z)/(z-π/2)となり、この式はg(z)=tan(z)(z-π/2)にならない為2024.10.1 03:51に頂いた
解答の「質問者さんからお礼」に書いた疑問も起こらない事がわかりました。

お礼日時:2024/10/05 07:38

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)



g(z)=f(z)(z-a)

同じ変数
g(z)を使ってはいけません

どうしてg(z)を使いたいのなら

h(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

g(z)=f(z)(z-a)

違う変数にすべき
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g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)



g(z)=f(z)(z-a)

同じ変数
g(z)を使ってはいけません

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)やg(z)=f(z)(z-a)は間違いです

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
g(z)よりは
正しいのです間違いではありません

g(z)は間違いです
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この回答へのお礼

>> gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いたのは
g(z)よりは
正しいのです間違いではありません

えと、では、
2024.10.3 19:36に頂いた
「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
と書いたのは間違いでした」
は間違いでしたと書いてありますが、
正しかったと言う事ですか?

仮に正しいとしたら、2024.10.1 03:51に頂いた解答の2024.10.2 00:29の「質問者さんからお礼」に書いた疑問が出てきて堂々巡りになってしまうのですが。

お礼日時:2024/10/05 01:02

f(z)がz=aでj位の極をもつとき



f(z)のz=aのまわりでのローラン展開は

f(z)=Σ{n=-j~∞}a(n)(z-a)^n

a(n)={1/(n+j)!}lim[z→a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j

と求まるのだから

a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)

必要ないのです
gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
とする必要はないのです
g0(z)=f(z)(z-a)^j
とする必要はないのです
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この回答へのお礼

なんだかややこしくなってきましたが、
要はgn(z)やg0(z)と言う表し方がよくなかったのですね。

今まで通り、g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)やg(z)=f(z)(z-a)で良いと分かりました。

なので、過去に頂いた
2024.9.29 21:36に頂いた解答の「gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いた」
の部分と2024.9.30 22:08と2024.10.1 03:51
は間違いであり、
それ以外の
2024.5.8 08:24の質問の
2024.5.10 10:22、2024.5.11 16:58、2024.5.11 20:25に頂いた解答と、

2024.9.29 17:12の質問の
2024.9.29 20:47、2024.9.29 21:36 の「gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いた」
の部分以外と、
2024.9.30 03:58、2024.9.30 04:03、
2024.10.2 14:33に頂いた解答は正しい為、
正しい解答のgn(z)やg0(z)の部分はg(z)とします。

お礼日時:2024/10/04 21:49

g0(z)をf(z)/(z-a)とするのは間違いです



gn(z)を使わないで
gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
としないで
f(z)/(z-a)^(n+1)をそのまま使うのです

res(gn(z),a)
としないで
res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)
とするのです

g0(z)を使わないで
g0(z)=f(z)(z-a)
としないで
f(z)(z-a) をそのまま使うのです

{1/(n+1)!}lim[z->a](d/dz)^(n+1)g0(z)
としないで
{1/(n+1)!}lim[z→a](d/dz)^(n+1)f(z)(z-a)
とするのです
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gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)


g0(z)=tan(z)(z-π/2)
とする必要はないといっているのです

gn(z)はz=aでk=n+j+1位の極をもつから
res(gn(z),a)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)g0(z)
となるのではなく

f(z)がz=aでj位の極をもつとき
f(z)=Σ{n=-j~∞}a(n)(z-a)^n …(1)
(1)から
a(n)={1/(n+j)!}lim[z→a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j …(2)
(1)から
a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a) …(3)
(2)と(3)から
res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)=a(n)={1/(n+j)!}lim[z→a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j
となるのです

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いた
lim[z→a]gn(z)(z-a)^(n+j)=lim[z→a]f(z)(z-a)^(j-1)は発散する
lim[z→a]gn(z)(z-a)^(n+j+1)=lim[z→a]f(z)(z-a)^j が収束する
から
極の位数の定義から
gn(z)はz=aで(n+j+1)位の極をもつ
から
gn(z)のz=aでの
極の位数は
k=n+j+1
と決まるのだけれども
gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
とする必要はないといっているのです
gn(z)を使う必要はない
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

なかなか上手く理解できなくて申し訳ありません。

すなわち、

>> gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)
とする必要はないといっているのです

gn(z)をtan(z)/(z-π/2)^(n+1)や
g0(z)をtan(z)(z-π/2)とするのは間違いであり、
また、2024.5.8 08:24の質問の2024.5.10 10:22の解答と2024.9.29 17:12の質問の2024.10.1 03:51の解答は間違いだったという事でよろしいでしょうか?

そして、
gn(z)をf(z)/(z-a)^(n+1)や
g0(z)をf(z)/(z-a)とするのが正しいと言う事でしょうか?

お礼日時:2024/10/04 19:13

g(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)


というのも

(f(z)がz=aでj位の極をもつとき)
g(z)=f(z)(z-a)^j

同じ
g(z)を使ってはいけないのだから間違いです
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この回答へのお礼

えと、混乱してきたのですが、

では、話を整理する為に、
頂いたこちらの解答と1つ前の解答と2つ前の解答以外の

例えば2024.5.10 10:22の解答に書いてある「gn(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
g0(z)=tan(z)(z-π/2)」

2024.5.11 16:58の解答に書いてある「f(z)がz=aでj位の極をもつとき
f(z)=Σ{n=-j~∞}a(n)(z-a)^n

g0(z)=f(z)(z-a)^j

a(n)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)f(z)(z-a)^j

a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)

gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)
とすると
a(n)=res(gn(z),a)

gn(z)はz=aでk=n+j+1位の極をもつから

res(gn(z),a)={1/(n+j)!}lim[z->a](d/dz)^(n+j)g0(z)」

などが書かれている
2024.5.8 08:24の質問の
2024.5.10 10:22、2024.5.11 16:58、2024.5.11 20:25に頂いた解答と、

例えば2024.9.29 21:36の解答に書かれてある
「gn(z)=f(z)/(z-a)^(n+1)

nが変化すれば変化するからgn(z)と書いた

lim[z→a]gn(z)(z-a)^(n+j)=lim[z→a]f(z)(z-a)^(j-1)は発散する
lim[z→a]gn(z)(z-a)^(n+j+1)=lim[z→a]f(z)(z-a)^j が収束する
から
極の位数の定義から
gn(z)はz=aで(n+j+1)位の極をもつ
から
極の位数は
k=n+j+1
と決まる」

などが書かれている
2024.9.29 17:12の質問の
2024.9.29 20:47、2024.9.29 21:36、
2024.9.30 03:58. 2024.9.30 04:03.
2024.9.30 22:08、2024.10.1 03:51、2024.10.2 14:33に頂いた解答はすべて間違っていたと言う事でしょうか?

お数をお掛けしますが、どうか確認をお願い致します。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2024/10/04 07:57

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