高校数学です。 無限級数で、無限級数が収束するとき第n項は0に収束しますがこの逆は言えませんよね。

高校数学です。
無限級数で、無限級数が収束するとき第n項は0に収束しますがこの逆は言えませんよね。
疑問に思ったのですが、第n項が0以外に収束すると無限級数は発散すると言えるのですか？
第n項は0に収束するけど無限級数は収束するとは限らないということは、無限級数が収束するとき第n項は0以外に収束するとは言えないということですか？

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/04 13:51

高校範囲でも、

Σ[n=1→∞] a_n が収束するならば、その極限を S と置いて
lim[n→∞] a_n = lim[n→∞] Σ[k=1→n] a_k - Σ[k=1→n-1] a_k
　　　　　　　= S - S
　　　　　　　= 0.
その対偶をとれば、
lim[n→∞] a_n = 0 でないとき Σ[n=1→∞] a_n は収束しない
って話だけどな。
教科書にも、たぶん載ってると思う。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/04 10:19

級数の極限 lim[m→∞]Σ[n=1→ｍ]a_n が収束する時

lim[n=1→∞]a_n = 0
という意味だろうか？

高校の範囲では無理っぽいけど
大学生向けに説明してみます。

取り合えず、a_nを実数とすると

lim[n=1→∞]a_n = b なら、ある正の実数 ε にたいして
適当な N が存在して n > N を満たす全ての n で |a_n - b| < ε となる。

というのが収束する数列の極限の定義です。

b ≠ 0 の場合
ε < |b| となるように　ε を選ぶと　n > N　では a_n の符号は変わらず、
その絶対値は必ず |b|-ε より大きくなるので、級数は発散します。

a_n が複素数の場合も成分で分けて考えれば
ほぼ同じ証明が使えます。

高校っぽく説明すると
a_n が ゼロでない b に十分近づくと
a_n を足す毎に級数は b くらい増えてしまうから
級数は増加あるいは減少を続けて収束しない・・・・・ かな。
なんとも怪しげな説明です(^^;

高校数学だとまっとうな説明は不可能かも。

No.5 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/04 09:54

＞第n項が0以外に収束すると無限級数は発散すると言えるのですか？

これは言える。


＞第n項は0に収束するけど無限級数は収束するとは限らないということは、無限級数が収束するとき第n項は0以外に収束するとは言えないということですか？

これは何が聞きたいのでしょうか？

美人だけど結婚できるとは限らないということは、結婚できる人はブスとは言えないということですか？

みたいな感じの質問ですけど、あなたならなんて答えるの？？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/04 05:10

画像の通り

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/04 02:41

収束する級数 ⊂ 項が0に収束する級数 ⊂ 項が収束する級数

ってだけの話だよ。発散するってのは、収束しないってことだから、
発散する級数 ⊃ 項が0に収束しない級数 ⊃ 項が発散する級数
でもあるね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/04 01:46

いちおうほそくしておくと

「各項が 0 に収束する」わけではない→級数は発散する
は (「発散する」=「収束しない」と解釈して) 真で
各項が 0 に収束する→級数は収束する
は偽.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/10/04 00:55

「級数が収束する→各項は 0 に収束する」は真.

でもって「各項が 0 でない値に収束する→級数が発散する」も真. シンプルには
全ての項が 1 であるような級数
を考えてみるといい.

なお「0以外に収束する」を否定したときに「0 に収束する」にはならないことにも注意だ.