x>0,y>0→x^x+y^y≧x^y+y^x?

x>0,y>0 のとき
x^x+y^y≧x^y+y^x　
は成り立ちますか?

f(x,y)=x^x+y^y-x^y-y^x
とすると

x≧1≧y>0のとき
x^{x-y}≧1≧y^{x-y}
だから
f(x,y)=x^y(x^{x-y}-1)+y^y(1-y^{x-y})≧0
だから成り立つ

xとyを入れ替えれば
y≧1≧x>0のとき同様に成り立つ

x≧y≧1 のとき
x^{x-y+1}≧y
x^x≧y^x
logx≧logy≧0
だからf(x,y)のxによる偏微分
fx(x,y)=x^{y-1}(x^{x-y+1}-y)+(x^x-y^x)logx+y^x(logx-logy)≧0
だから
f(x,y)≧f(y,y)=0
だから成り立つ

xとyを入れ替えれば
y≧x≧1のとき同様に成り立つ

と考えたのだけれども

1≧x≧y>0
または
0<x≦y≦1
の
ときは?

質問者からの補足コメント

• 成り立つなら証明してください

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/09 16:41

• x^x+y^y-x^y-y^x
  =x^x-x^y+y^y-y^x
  にはなるけれども
  x^x-x^y ≠　(x^x)/(x^y)=x^(x-y)
  y^y-y^x ≠　(y^y)/(y^x)=y^(y-x)
  だから
  x^x+y^y-x^y-y^x　≠　x^(x-y)+y^(y-x)
  間違っている

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/09 17:15

• x=1/2
  y=1/3
  のとき
  
  p=(1/2+1/3)/2=5/12
  q=(1/2-1/3)/2=1/12
  
  x^x-x^y=1/2^(1/2)-1/2^(1/3)<0
  x^q-1/x^q=1/2^(1/12)-2^(1/12)<0
  y^q-1/y^q=1/3^(1/12)-3^(1/12)<0
  は
  負になるのでよいとは思えません

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/10/10 20:40

• 1≧x≧y のときの証明がわかりません

  
    補足日時：2024/10/11 20:17

No.6 ベストアンサー 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/12 10:21

変形して

(x^y)^(x/y)-(y^y)^(x/y)≧x^y-y^y
を示すらしい。

f(t)=t^(x/y)は下に凸なので
f(x^y)-f(y^y)≧f'(y^y)(x^y-y^y)
が成り立つから
f'(y^y)≧1
を示せばいいらしい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

x^x=(x^y)^(x/y)
y^x=(y^y)^(x/y)
だから

f(t)=t^(x/y) とすると

x^x-y^x
=(x^y)^(x/y)-(y^y)^(x/y)
=f(x^y)-f(y^y)

x>yのとき
平均値の定理から

(x^x-y^x)/(x^y-y^y)
={f(x^y)-f(y^y)}/(x^y-y^y)
=f'(t)

y^y<t<x^y
となるtがある

{f'(t)-f'(y^y)}/(t-y^y)=f"(u)=(x/y)(x/y-1)u^(x/y-2)>0

y^y<u<t
となるuがあるから

(x^x-y^x)/(x^y-y^y)=f'(t)>f'(y^y)
が成り立つから
f'(y^y)>1を示せばよいとわかりましたが

f'(y^y)
=(x/y)(y^y)^(x/y-1)
=(x/y)(y^{x-y})

(x/y)>1 だけれども　y^{x-y}<1 だからy^{x-y}>1はいえない

f'(y^y)
=(x/y)(y^{x-y})
=x(1/y)^{1+y-x}

(1/y)^{1+y-x}>1/x がいえればf'(y^y)>1がいえるのだけれども…
わかりません

お礼日時：2024/10/13 05:45

No.10 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/18 11:15

ちなみに

a,b,u,vは正の数でu+v=1のとき
ua+vb≧a^u*b^v
は示せるかね？

No.9 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/18 07:44

y^(1-x+y)=(1+(y-1))^(1-x+y)

としてベルヌーイの不等式を使うらしい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

x(1+y-x)-y
=x+x(y-x)-y
=x-y-x(x-y)
=(1-x)(x-y)
≧0

だから
x(1+y-x)≧y
1+y-x≧y/x
だから

(1/y)^(1+y-x)
≧(1/y)^(y/x)
=(1+1/y-1)^(y/x)

↓ベルヌーイの不等式から

≧1+(1/y-1)(y/x)
=1+1/x-y/x
=1/x+1-y/x
=1/x+(x-y)/x
>1/x

∴
x(1/y)^(1+y-x)≧1
f'(y^y)=x(1/y)^(1+y-x)≧1
x^x-y^x≧f(y^y)(x^y-y^y)≧x^y-y^y
x^x-y^x≧x^y-y^y
∴
x^x+y^y≧x^y+y^x
と
わかりました

お礼日時：2024/10/18 11:06

No.8 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/15 09:30

No.5の趣旨は私にも理解出来ない。

No.7を読んでも分からない。

p,qを定数と思って
(x^p)(x^q - 1/(x^q))
が単調増加であることを示せ、と言いたいのだろうか？

しかしp=1/2,q=1/4としてグラフを書くと
どう見ても増加とは言い難いのだが…

この回答へのお礼

お礼日時：2024/10/18 16:42

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/15 08:11

No.5へのコメントについて。

どうも趣旨がご理解いただけなかったようで。p, qはx,yとは無関係で単に1≧p≧q≧0, 1≧x≧y≧0 という話に一般化した方がスッキリするよ、ということなんですけどね。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/10/18 16:44

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/10/10 17:59

p = (x + y)/2, q = (x - y)/2

とすると、
　　x = p + q, y = p - q
なので
　　x^x - x^y = (x^p)(x^q - 1/(x^q))
　　y^y - y^x = -(y^p)(y^q - 1/(y^q))
そして1≧x≧y≧0のとき
　　p≧q≧0
ということを考えてみると良さそうな気がするなあ。

この回答へのお礼

1>x>y のとき
xy^{x-y-1}≧1
を証明してください

お礼日時：2024/10/14 05:59

No.4 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2024/10/09 22:08

調べたら成り立つらしい。

1>x≧y>0の部分は少しややこしいらしい。

あなたが考えたx≧1かつx≧yの部分は
x^(x-y)≧y^(x-y)⇒y^y≧x^y y^x/x^x
として
x^x+y^y-x^y-y^x
≧x^x+x^y y^x/x^x-x^y-y^x
=…
とするだけらしい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

x≧1　かつ　x≧y　のとき

x^(x-y)≧y^(x-y)
↓
(x^x)/(x^y)≧(y^x)/(y^y)
(y^y)(x^x)≧(x^y)(y^x)

y^y≧(x^y)(y^x)/x^x

x^x+y^y-x^y-y^x
≧x^x+(x^y)(y^x)/(x^x)-x^y-y^x
={x^(2x)+(x^y)(y^x)-(x^x)(x^y)-(x^x)(y^x)}/(x^x)
={x^(2x)-(x^x)(y^x)-(x^x)(x^y)+(x^y)(y^x)}/(x^x)
={(x^x)(x^x-y^x)-(x^x-y^x)(x^y)}/(x^x)
=(x^x-x^y)(x^x-y^x)/(x^x)
↓x^x≧x^y,x^x≧y^xだから
≧0

とすればよいとわかりました

お礼日時：2024/10/10 11:12

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/10/09 17:17

そりゃそうだ

失礼

この回答へのお礼

1>x>y のとき
xy^{x-y-1}≧1
を証明してください

お礼日時：2024/10/14 05:58

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2024/10/09 16:54

簡単に、

x≧y　と仮定　（逆は入れかればできる）

x^x+y^y-x^y-y^x
=x^(x-y)+y^(y-x)
=(x/y)^(x-y)
≧0
(x/y≧0,x-y≧0 なので)

でいいんじゃね

この回答へのお礼

1>x>y のとき
xy^{x-y-1}≧1
を証明してください

お礼日時：2024/10/14 05:58

No.1 回答者： すんすんにゃ 回答日時： 2024/10/09 16:26

成り立ちそうですね。

詳細の記載は割愛しますが、成り立ちます。

この回答へのお礼

成り立つなら証明してください

お礼日時：2024/10/09 16:38