
No.11ベストアンサー
- 回答日時:
NO7 に対する 補足文に対して。
9x1=9, 9x2=18, 9x3=27, 9x4=36,・・・ ですから、
1桁目だけを考えると x の1桁目に +1 をすると y の 1桁目になる筈です。
又 29x3<109<29x4 ですから、1桁目だけを考えれば、
3x<y<4x ; y=x+1 を満たす 整数の筈です。
(ごめんなさい 102 は ミスタイプでした。)
x=1 の時は 3<y<4 で これを満たす 整数は ありません。
x=2 の時は 6<y<8 で 2+1≠7 で ダメです。
x=3 の時は 9<y12 で 1桁目が 4 にはなりませんから ダメです。
x=4 の時は 12<y<16 で , y の候補は 15,25,35, ・・・になり、
y=15 が 題意を満足することが分かります。
「互除法を使わずに解に迫る方法」と言う事ですから、
無理やり考えた結果です。
この問題は 簡単に答えに 辿り着きましたが、
場合によっては かなりの時間や 労力が必要かも。
回答ありがとうございます。
>9x1=9, 9x2=18, 9x3=27, 9x4=36,・・・ ですから、
>1桁目だけを考えると x の1桁目に +1 をすると y の 1桁目になる筈です。
1桁目に注目すれば
109x-29y=1 について、9x と 9y の差の1桁目が 1 になることと、
9の倍数の1の位が順に1ずつ減っていく性質から言えると理解することができました。
> 又 29x3<109<29x4 ですから、1桁目だけを考えれば、
> 3x<y<4x ; y=x+1 を満たす 整数の筈です。 ←★
>(ごめんなさい 102 は ミスタイプでした。)
★の2つの性質を満たす x,y を探せばよいということですね。
>x=1 の時は 3<y<4 で これを満たす 整数は ありません。
>x=2 の時は 6<y<8 で 2+1≠7 で ダメです。
>x=3 の時は 9<y12 で 1桁目が 4 にはなりませんから ダメです。
>x=4 の時は 12<y<16 で , y の候補は 15,25,35, ・・・になり、
>y=15 が 題意を満足することが分かります。
x=5の時は 15<y<20 で y=16 が該当しますが、
109/29≒3.75 を考えると(x,y)=(5,16)は不適
x=6の時は 18<y<24 で y=17 が不適
x=7の時は 21<y<28 で y=18 が不適
x=8の時は 24<y<32 で y=29 が該当しますが、
不定方程式を満たさない…
などと自分なりに考えることができました。
(4,15)で該当することはラッキーに思えてきました。
>「互除法を使わずに解に迫る方法」と言う事ですから、
>無理やり考えた結果です。
それでも、このように考えを広めることで、視野が広がるような気がします。
何よりも、「x:y=29:109 の比の値を意識すること」は、はユークリッドの互除法で解けることに安心していては忘れてしまいます。
ありがとうございました。
No.10
- 回答日時:
これが高校数学の問題ならyはそこまで大きくないはず。
yはxの約4倍。
110x-30y+(y-x)=1
y-x≡1 (mod10)
から試しにy-x=11とするとx=11/3≒4。
y=x+11=15とすると適する。
回答ありがとうございます。はじめて見たとき、面白い解き方だと感じて胸が高まりました。それから、あれこれ考えています。
たとえば 531x - 47y = 1 ★について
531÷47=11.29… より、y≒11x … などとして、
同じ方法で特殊解を見つけることはできるでしょうか。
自分なりに考えているのですが、なかなかうまくいきません。
No.8
- 回答日時:
> 22x ≡ 1 (mod 29) や 22m = 1 + 7n から x や m や n の検討をつける
> ことは、勘が働きやすいです。
> これなら、ユークリッドの互除法を使わなくとも整数解が見つけられる
> かもしれません
そこで止めずに、最後まで
109x - 29y = 1
→ 22x ≡ 1 (mod 29) → 22x = 1 + 29n
→ 0 ≡ 1 + 7n (mod 22) → 22m = 1 + 7n
→ m ≡ 1 (mod 7)
と書くと、これがユークリッド互除法であることが解りやすいかもしない。
22m = 1 + 7n よりも m ≡ 1 (mod 7) のほうが
更に解が見つけやすいだろうし。
書き方はともかく、各係数を見ると実際にやってる計算は
109 = 29・3 + 22,
29 = 22・1 + 7,
22 = 7・2 + 1,
7 = 1・7 + 0. ←割り切れたので、 1 が 109 と 29 の最大公約数
だから、内容は互除法そのものだ。
解の一例 m = 1 に気付いたら、
22m = 1 + 7n から n = 3,
22x = 1 + 29n から x = 4,
109x - 29y = 1 から y = 15 を見つければ、
x = 4, y = 15 が 109x - 29y = 1 を満たすことが判る。
ここでは解の一例を見つけたいだけだから、最後までやらなくても
途中でカンが働けば、その時点でひとつの解に気付いてかまわない。
速さで言えば、そのほうが速い。
> 途中でカンが働けば、その時点でひとつの解に気付いてかまわない。
互除法によって特殊解が見つかりますが、途中で気づくにはそれでよいということですね。互除法については、「必ず見つかる」というアルゴリズムにも価値があるわけですが、このQAでは、極力互除法によらない方法を模索しています。
No.7
- 回答日時:
>総当たり的な方法のように思えます。
NO2 です。 その通りです。
但し 109の倍数と 29の倍数の差が 1 ですから、
x の1桁目に +1 をすると y の1桁目になる筈です。
又 3x29<102<4x29 ですから、
x=1 から x=9 迄行えば、答えが出てくるか、
見当が付くか どちらかになる可能性が高い、と考えました。
> 但し 109の倍数と 29の倍数の差が 1 ですから、
> x の1桁目に +1 をすると y の1桁目になる筈です。
これはなぜですか?このことを「なるほど!」と簡単に理解することはできますか?かなり考えてx-y≡1 (mod 10)だからか!と思いましたが、もっと簡単に理解できますか?
>又 3x29<102<4x29
この102は何を意味していますか?
>又 3x29<102<4x29 ですから、
>x=1 から x=9 迄行えば、答えが出てくるか、
>見当が付くか どちらかになる可能性が高い、と考えました。
この部分の「ですから、」の部分がよく分からずにいます。
頭が悪くてすみません!
No.4
- 回答日時:
7yじゃなかった
結局はユークリッドの互除法なんだけど、合同式を使う。
29で割った時の余りに着目する。
29yは余り0だから、109を7で割った時の余りが1になる筈。
109=(29×3+22)なので、29で割った余りは22
つまり22xを29で割った余りが1になる様なxを見つける。
22x≡1(mod29)を解く
x=4が見付かる(88÷29=3余り1)
以下略
回答ありがとうございます。
合同式は便利ですね!xの検討がつきやすくなります。
> 22x≡1(mod29)を解く
> x=4が見付かる(88÷29=3余り1)
このx=4は必ず整数解になりますか?それとも、今回はたまたま整数解になって運がよい、という展開でしょうか?
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