置換による行列式の定義について

a11=a22=a33=a4=0と対角成分が０の行列の２４個の置換の項についてa11みいな対角成分が入って０になる項の数は１５だがどうやって求めたの？

No.6 ベストアンサー 回答者： cage64 回答日時： 2024/10/30 17:37

n次正方行列の行列式を展開した時、対角成分を含む項の数をg(n)とすれば、包除原理により

g(n)=nC1*(n-1)! -nC2*(n-2)!+nC3 (n-3)!-...+(-1)^n*nC(n-1)*1!+(-1)^(n+1)*0!
=n*(n-1)!-(1/2!)n(n-1)*(n-2)!+(1/3!)n(n-1)(n-2)*(n-3)!+...+(-1)^(n+1)
=n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n+1)(1/n!))
となるようですね。
g(4)=4*3!-6*2!+4*1-1=24-12+4-1=15

tknakamuri さんのf(n)はn!-g(n)だから、
f(n)=n!-g(n)=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n(1/n!))(≒(n!)/e)
よって、
n*f(n-1)=n*(n-1)!(1/0!-...+(-1)^(n-1)(1/(n-1)!))
=n!(1/0!-1/1!+...+(-1)^(n-1)(1/(n-1)!))
だから、
n*f(n-1)+(-1)^n=f(n)

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/30 09:57

n×nの行列で対角成分がゼロの行列式の項数を f(n) とすると

どうやら
f(n) = n・f(n-1) +1 (nは偶数)
f(n) = n・f(n-1) -1 (nは奇数)

になるみたいですね。

f(1) = 0
f(2) = 2 × f(1) + 1 = 1
f(3) = 3 × f(2) - 1 = 2
f(4) = 4 × f(3) + 1 = 9
f(5) = 5 × f(4) - 1 = 44
f(6) = 6 × f(5) + 1 = 265
f(7) = 7 × f(6) - 1 = 1854
f(8) = 8 × f(7) + 1 = 14033

ここまでは pythonで総当たりで確認済み。

証明や一般式はわからんです(^^;

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/29 11:56

1～4の異なる数字を使ってn番目がnにならないような4桁の数字を作る

樹形図を描くというのも簡単かな。
2143
2341
2413
3142
3412
3421
4123
4312
4321
計9個だから 4P4 -9 = 15個

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/29 09:58

たった24個だから、目で見てもすぐですよ。

1234 の順列を全部ならべると
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432
2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421
4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321

これらから、左からn番目の桁がnになっているものは
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432
2134, 2314, 2431, 3124, 3214, 3241
4132, 4213, 4231
15個

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/27 08:24

行列式を成分の多項式で陽に書き下す公式：

A が n次正方行列で、その i 行 j 列成分が a_{i,j} であるとき、
det A = Σ[σ∈Sn] sgn(σ) Π[i=1...n] a_{i,σ(i)}.
ただし、Sn は n次対称群で、sgn は置換の符合を表す。

右辺の Σ は、Sn の位数と同じ n! 個の項を持つが、
n = 4, a_{1,1} = a_{2,2} = a_{3,3} = a_{4,4} = 0 の場合、
4! = 24 個の項の中で σ(i) = i となる i があるようなものは値が 0 になる。

σ(1) = 1 となるものは 3! = 6 個。
σ(2) = 2, σ(3) = 3, σ(4) = 4 も同様に 6 個づつ。
これが 4 組ある。
ただし、それらには重複がある。

σ(1) = 1 かつ σ(2) = 2 となるものは 2! = 2 個。
他の σ(i) = i かつ σ(j) = j も同様に 2 個づつ。
これが 4C2 = 6 組ある。

σ(1) = 1 かつ σ(2) = 2 かつ σ(3) = 3 となるものは 1 個。
σ が単位元の場合だけ。
他の σ(i) = i かつ σ(j) = j かつ σ(k) = k も同様。

以上を使って...

σ(i) = i となるのが i = 1, 2 だけのものは 2 - 1 = 1 個。
これが 6 組ある。

σ(i) = i となるのが i = 1 だけのものは 6 - 1・1 - 1・3 = 2 個。
これが ４ 組ある。

これで重複が除けた。合計すると、
σ(i) = i となるの i があるものは
1 + 1・6 + 2・4 = 15 個。

ｎ が他の値でも、やり方は同様。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/26 15:25

|0.0,a12,a13,a14|

|a21,0.0,a23,a24|
|a31,a32,0.0,a34|
|a41,a42,a43,0.0|

対角成分が入らない項は

a12a21a34a43
a12a23a34a41
a12a24a31a43
a13a21a34a42
a13a24a31a42
a13a24a32a41
a14a21a32a43
a14a23a31a42
a14a23a32a41
の

9個だから

対角成分が入って0になる項の数は

24-9=15