和の公式

自然数に関する和の公式はどうやって導出されたのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• Σ[k=1からnまで]1=n
  
  Σ[k=1からnまで]k=1/2n(n+1)
  
  Σ[k=1からnまで]k^k=1/6n(n+1)(2n+1)
  
  です。

    補足日時：2024/11/01 14:46

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/11/02 23:28

いろいろあります

①　②　は展開してからの方法
教科書に載っている方法
和分の考えによる方法
組み合わせの記号からの二項定理(ピタゴラスの三角形)からの方法

①=1+1+.........+1=n は1がn個あるから

②=1+2+3+.......+(n-1)+n
第1項と第n項を足せば　1+n
第2項と第n-1項を足しても　2+(n-1)=n+1
..........................................................
そして　n+1 がn個あるが　その半分が合計なので
=(n+1)n/2

教科書では
(n+1)^2 -n^2=2n+1
nを1から順に入れていけば　打消しあって
2^2 -1 =2*1+1
3^2 -2^2=2*2+1
..........................
(n+1)^2 - n^2=2*n+1
合計すれば
(n+1)^2 -1=2 Σk;1→n k +Σk;1→n 1=2 Σk;1→n k +n
∴2 Σk;1→n k =(n+1)^2 -1 -n=n^2 +n=n(n+1)
∴Σk;1→n k =n(n+1)/2

③はΣ[k=1からnまで]k^２　の間違いで　教科書では　
同じく恒等式
(n+1)^3 -n^3 =3n^2 +3n+1 からになっている！

他には　和分の考えで 両辺にΣをつけて
①は　(n+1) - n = 1
②は　{n(n+1) - (n-1)n }/2　= n　で上記の同じように打ち消しあってできる！
③は　n(n+1)=n(n+1)(1/3) 3 =(1/3)n(n+1){(n+2) - (n-1)}
と変形すれば　打ち消しあって求まる

最後は　上記の式から二項定理(ピタゴラスの三角形)が連想できるよね
https://examist.jp/mathematics/expression-proof/ …
n+1 C r =n C r + n C r-1 を利用してもできるので　やってみてね！

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/01 20:40

・Σ[k=1からnまで]1=n・・・・・①

は自明ですね。どうしても、証明したいなら(誰もしませんが)、数学的帰納法によります。たとえば、和をS(n)として、n=1の時は自明。S(k)=kを仮定し、
S(k+1)=S(k+1)+1=k+1なので、証終。

・Σ[k=1からnまで]k=1/2n(n+1)

#5さんのように、
(k+1)²-k²=2k+1　の両辺に和をとり、求める和をS₂(n)とすれば
①の結果を使い、Σ[k=1～n] (k+1)²-Σ[k=1～n] k²=Σ[k=1～n] (2k+1)
→ (n+1)²-1²=2S₂(n)+n
→ S₂(n)=n(n+1)/2・・・・②

ここで、
Σ[k=1～n] (k+1)²-Σ[k=1～n] k²=(n+1)²-1²
となることも、自明ですが、厳密にしたいなら数学的帰納法(同様に誰もしないが)。

一般に
Σ[k=1～n] k^m
の和を求めるには、上の結果を順次使って、解いていきます。
https://manabitimes.jp/math/645

なお、②についてはガウスが小学生の時に解いた方法が有名です。
2S= (1+2+・・・+(n-1)+n)
　 +(n+(n-1)+・・・+2+1)
=(n+1)+(n+1)+・・・+(n+1)=n(n+1)
https://small-is-beautiful.net/genious-boy-gauss/

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/01 18:51

Σ[k=1からnまで] k^k = 1/6n(n+1)(2n+1) ではないなあ。

Σ[k=1からnまで] k^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) です。

その辺の式は、 まず、 n^m - (n-1)^m = Fm(n) と置くと
Fm(n) が n の m-1 次多項式になることを確認して、 k^m が
k^m = (c_{m-1})F{m-1}(k) + (c_{m-2})F{m-2}(k) + ... + (c_2)F2(k) + (c_1)F1(k)
と表せるような c_j を見つければ、
Σ[k=1からnまで] k^m = (c_{m-1})n^(m-1) + (c_{m-2})n^(m-2) + ... + (c_2)n + (c_1)
と求められます。

各 c_j の値は、 n^j - (n-1)^j,　j=1,2,...,m-1 をそれぞれ展開して
必要な多項式 F{m-1}(k), F{m-2}(k), ..., F2(k), F1(k) が全て求めてあれば、
c_{m-1} → c_1 の順に順次決めてゆくことができます。

No.4 回答者： finalbento 回答日時： 2024/11/01 17:15

覚えてませんが導出方法が教科書に載っていた事は覚えています。

質問者様も教科書で見た記憶だけはありませんか?

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/01 15:24

ココで 逐一書くと 長くなるので、

下記等を 参考にしてください。
https://valueset3.com/arithmetic-progressions-sum/
https://mathwords.net/sigmaknijou
後は 適当なキーワードで、ネット検索してみて。

尚、「 Σ[k=1からnまで]k^k=1/6n(n+1)(2n+1) 」は、
「 Σ[k=1からnまで]k²=1/6n(n+1)(2n+1) 」ですね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/01 14:29

自然数1からnまでの和

Σ[k=1～n]k=n(n+1)/2

のことでしょうか?

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/01 14:07

「自然数に関する和の公式」て、

どんな式を指して言ってんだろう？
後者写像 σ に関して
m + σ(n) = σ(m) + n とか、そういうこと？