A 回答 (7件)
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No.6
- 回答日時:
y=cosx
で
xをtの関数であるとすると
x=x(t)
yもtの関数となって
y(t)=cos{x(t)}
↓両辺をtで微分すると
dy(t)/dt=-sin(x(t))(dx(t)/dt)
ここでtを省略し
x(t)=x
y(t)=y
dy(t)/dt=dy
dx(t)/dt=dx
と略記すると
dy=-sinxdx
となる
No.4
- 回答日時:
医科のように思っておけば良さそうです
y=f(x)について
これが直線を表すとき、その変化率(傾き)は一定で
xの値がΔxだけ増えたとき、yの増分Δyは
Δy=変化率・Δx ( ・ は掛け算の意味)
てでよね
しかし、y=f(x)が曲線を表すとき、変化率は一定ではないので、
一般に、Δy=変化率・Δx とはなりません
しかし、Δxをなるべく小さめに取れば
xからdxだけ増えるときのyの増分は
Δy≒変化率・Δx
とはなりますよね
そして、Δxを極限まで小さくして(Δx→0として)やれば、xがとてもとてもとても小くΔxだけ増加している間は変化率は一定とみなせて
Δy=変化率・Δx となりそうですよね
このとき、極限まで小さくした増分Δxをdxと表記し、それに伴う小さな小さなyの増分Δyをdyと表記してやればxにおけるyの増分は
dy=変化率・dx
と言う事になります
そして、xにおける変化率はf′(x)なので
(グラフで言えば点(x、f(x))における接線の傾きはf′(x)なので)
dy=f′(x)dx
と考える事も出来そうです
ご質問のように、f(x)=cosxならば
f′(x)=−sinxなので
dy=−sinxdx
と出来そうだと言う事です
No.3
- 回答日時:
y = cos(x)
が
dy/dx = -sin(x)
になることは分かりますか?
「dy/dx」は分数ではありませんが、微小な変化率として
Δy/Δx = -sin(x)
と書けば、Δy と Δx は独立なので
Δy = -sin(x)・Δx
と書けます。
これを延長して
dy = -sin(x)・dx
と書くことがよくあります。
高校数学ではそう書きませんが。
No.2
- 回答日時:
高校数学で、dy/dx の分数の形でなく dx,dy を単独で使うのは御法度です。
大学で解析学を学ぶと、dx や dy も意味を持つのですが、その話は高校の
教科書には出てきません。
置換積分のときに dy = (-sin x)dx という書き方が出てくるのは、当面は
便宜的略記(ナンチャッテ記法)なんだと理解しましょう。
置換積分は、高校範囲では ∫f(y)dy = ∫f(y) (dy/dx) dx = ∫f(cos x) (-sin x) dx
のように書きます。この変形を、中間の ∫f(y) (dy/dx) dx を飛ばして
dy = (-sin x)dx を代入したと考えれば簡単だよね? という、まあ
式の暗記法みたいなもんです。
もちろん、解析学では dy = (-sin x)dx という式の各辺がちゃんと意味を持つ
のですが、それは将来のお楽しみ。
高校生の間は、鎌倉幕府を「イイハコ作ろう」と覚えたり、
置換積分は dy = y’ dx と覚えたりして、その場をしのぎましょう。
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