【⠀統計学、物理⠀】 速度の二乗 v² の期待値を求める時なぜ 確率が 速度の一乗 v に、なってい

【⠀統計学、物理⠀】
速度の二乗 v² の期待値を求める時なぜ 確率が 速度の一乗 v に、なっているのですか？
f(v²)dv² ではないのですか？
vとv²は同じ確率vf(v)？同じ階級幅dv

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/14 09:30

これ、積分範囲が違うと思うのだが、fは遇関数として倍に細工してあるのかな？

∫f(v)dvは積分範囲で1でないといけない。

それは置いといて、

ある関数 A(x) が有って その確率密度分布が B(x) なら
その期待値は ∫A(x)B(x)dx

ｘはそれ用の確率密度分布が手に入れば何でもよいので
v でも v^2 でもよいです。

xをA(x)の形に合わせる必要はありません。
xは分布を表すためのパラメータに過ぎません。

f は 速度用の確率密度分布で、v^2 の確率密度分布ではないことに注意！！
f(v^2) は使えません。2乗速度用のものを用意しましょう。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/13 16:37

「サイコロの出る目の期待値」は

　1 × (1/6) + 2 × (1/6) + ･･･ + 6 × (1/6)
ですよね。

これは
・実現値（出る目の数）：1, 2, ･･･, 6
・その確率：それぞれ 1/6
ということです。
たまたま「確率」がすべて 1/6 で同じですが

　期待値 = Σ[(実現値) × (その発生確率)] 　（離散分布の場合）
　　　　 = ∫[(実現値) × (その発生確率)] 　（連続分布の場合）

ということ。

50人のクラスの点数が「45人が 0 点、5人が100点」という分布をしていれば、平均値（= 任意に１人を抽出したときの点数の期待値）は
　期待値（平均値）= (0点 × 45人 + 100点 × 5人)/50人
　　　　　　　　　= 0点 × 45/50 + 100点 × 5/50
　　　　　　　　　= 10点
です。
「0点」「100点」が「実現値」、「45/50」「5/50」が発生確率です。

お示しの式は
　実現値が v^2
　発生確率が f(v)
ということです。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/13 07:20

f(v)は v～v+dv にある粒子の規格化された個数です。

例えば、変数変換 u=v²とすると
　∫[0→∞] v²f(v²)dv²=∫[0→∞] uf(u)du
となって、速度 uの平均となります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/13 00:20

「速度 v」の分布を表わす関数（確率密度関数）だからです。

その「速度 v の分布」に従って、「運動エネルギー」の値が分布するのです。
その「運動エネルギーの値」が、たまたま「v^2」で計算できるというだけのこと。