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数学の積分の長さについての質問です。
x=a(θ-sinθ)
y=a(1-cosθ)
(0<=θ<=2π)
における長さの求め方と答えが分からなくて困っています。どなたか途中式を教えていただきたいです。

A 回答 (4件)

答えではありませんが


曲線の弧長や曲面の面積の計算は微分幾何の基礎の基礎。
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その曲線を C と名付けましょうか。


C のパラメータ表示が
 x = a(θ - sinθ),
 y = a(1 - cosθ),
 0 ≦ θ ≦ 2π
と書けます。。

平面上の線素が ds = √(dx^2 + dy^2) であることから、
C の長さは
∫[C] ds = ∫[C] √(dx^2 + dy^2)
    = ∫[C] √{ (dx/dθ)^2 + (dy/dθ)^2 } dθ
    = ∫[0≦θ≦2π] √{ (a^2)(1 - cosθ)^2 + (a^2)(sinθ)^2 } dθ
    = ∫[0≦θ≦2π] |a| √{ 2 - 2cosθ } dθ
    = |a| ∫[0≦φ≦π] √{ 4(sinφ)^2 } 2dφ  ;θ=2φ で置換
    = |a| ∫[0≦φ≦π] 4 sinφ dφ
    = 4|a| [ -cosφ ]_{0≦φ≦π}
    = 4|a| { 1 - (-1) }
    = 8|a|.
と計算できます。
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x'=a(1-cosθ), y'=asinθ



L=∫[0,2π] √(x'²+y'²) dθ=a∫[0,2π] √2(1-cosθ)dθ
=a∫[0,2π] √{4sin²(θ/2)}dθ=2a∫[0,2π] |sin(θ/2)| dθ

θ=0~2πで、sin(θ/2)≧0 だから
L=2a∫[0,2π] sin(θ/2) dθ=2a[-2cos(θ/2)][2π,0]
=4a(-(-1)-(-1))=8a
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x=a(θ-sinθ)


y=a(1-cosθ)
(0≦θ≦2π)
x'=dx/dθ=a(1-cosθ)
y'=dy/dθ=asinθ

∫[0~2π]√(x'^2+y'^2)dθ
=∫[0~2π]√{(1-cosθ)^2+(sinθ)^2}dθ
=a∫[0~2π]√{1-2cosθ+(cosθ)^2+(sinθ)^2}dθ
=a∫[0~2π]√(2-2cosθ)dθ
=a∫[0~2π]√{2(1-cosθ)}dθ
=2a∫[0~2π]sin(θ/2)dθ
=4a[-cos(θ/2)][0~2π]
=8a
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