矛盾法

数学には矛盾法とでも呼べる証明方法があるのでしょうか？ここで、矛盾法とはこちらが勝手に付けた名称です。要は、矛盾を認めることによって、正しいとしたい命題、主張を証明する方法という意味です。実例としては、これまでもたびたび言及してきた「空集合φは任意の集合sの部分集合である」ということの証明があります。詳細は端折りますが、対偶法を使い、φの要素xがsの共通要素になることを以て、φがsの部分集合であるとする証明です。そもそも、要素が一つもないφの要素xを認めることは矛盾であるはずですが、とにかく、これを認めることで、φがsの部分集合であるとできるし、これは集合論において、必要欠くべからざるといえる重要事項でしょう。
しかし、当然、矛盾を認める前提からはどんな命題も正しいと証明できてしまうことは論理学の基本です。「φがｓの部分集合である」とする命題も、その反対の「φがｓの部分集合でない」という命題も同時に正しいと証明できてしまう。言ってみれば、両者が等値になるというところでしょうか？
それに、正しいと証明したい命題の反対の命題が正しいとすると矛盾が起こることで、証明したい命題の正しさを保証する背理法を強力な証明方法の一つとして採用している現行の数学体系においては、いわば、ダブルスタンダードになってしまう恐れがある。
果たして、数学界で、矛盾法なる方法は（もっと洗練されたカッコイイネーミングがされているかも知れませんが）正式に採用されているのでしょうか？また採用されているとしても、使用できる限界というか線引きがなされていないと、どんな命題でも恣意的に正しいとされてしまう恐れがあり、数学が無法地帯になる恐れがある。そんな限界線の定義はされているのでしょうか？

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/18 12:57

ひょっとして

AはBの部分集合である→AとBには共通要素が有る
と考えているのかな？

「Aにある要素はBにもある」
というのがちょっと曖昧な
部分集合の定義だけど、厳密には程遠くて、Aに要素が無い場合の判定方法が有りません。

きっと部分集合の判定でAに要素が存在しないと判定ができないと
おもっているのでしょうね。

部分集合の定義はそんな穴だらけのものではないです。

既にたくさん提示されている部分集合の定義をよく吟味しましょう。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/18 11:06

空集合φは任意の集合Sの部分集合である

φ⊂S
の定義は
x∈φ→x∈S
で
(x∉φ)V(x∈S)
で
任意のxと任意の集合Sに対して
xは空集合φの要素ではない
かまたは
xはSの要素である
という意味で

φの要素が1つもないのだから
任意のxに対して
xは空集合φの要素ではない
x∉φ
が常に成り立つのだから
(x∉φ)V(x∈S)が成り立ち
x∈φ→x∈Sが成り立ち
φ⊂Sが成り立ち
空集合φは任意の集合Sの部分集合であるといえるのです

対偶法を使い、
φの要素xがsの共通要素になることを以て、
φがsの部分集合であることは証明できません間違っています

(x∈φ→x∈S)の対偶は(x∉S→x∉φ)なので
φの要素xがsの共通要素になることは対偶ではありません
φの要素は1つもないのだから
x∈φが成り立たないのだから
成り立たない仮定をそのまま仮定することはありません
φの要素xがsの共通要素になることは証明できません
そのようなことはしません

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/17 15:43

ちょっと確認してみよう.

途中の
「「φがｓの部分集合である」とする命題も、その反対の「φがｓの部分集合でない」という命題も同時に正しいと証明できてしまう。」
のところ, 「その反対」はどのように証明している?

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/11/17 15:32

>>対偶法を使い、φの要素xがsの共通要素になることを以て

この辺からずれてますけど・・・。

部分集合の定義から，「φ⊂s」とは「x∈φ⇒x∈s」。
この対偶は「x∉s⇒x∉φ」
空集合は要素（元）をもたない集合なのでx∉φ。
なので対偶は常に真。

対偶使わなくても、a⇒bは(￢a)vbなので、仮定が偽なら、この命題自体は常に真。
x∈φは偽なので、「x∈φ⇒x∈s」は常に真。

これだけの事ですが。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2024/11/17 14:13

小難しそうな話が書かれていますが要するに「空集合が要素を持つのはおかしい」と言う事ですよね。

それって結局「要素を持つ集合を空集合と呼ぶのは間違っている」と言う国語ないしネーミングの問題であって、矛盾がどうたらと言った数学の問題ではないように思います。

恐らく空集合の事を「要素を持たない集合」とだけ考えるから「空集合の要素」と言うワードがおかしく見えるのであって、単純に「空集合は『無』と言う要素だけを持つ集合」とでも考えれば何もおかしくありません。それに私が今書いた空集合の定義は「空集合は要素を持たない集合」の言い回しを変えただけであって内容は全く同じです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/17 14:11

なんかずれてる。

部分集合の定義は

任意の要素xに対して
x∈A ならば x∈B
が恒真なら
AはBの部分集合

A=Φならx∈Aは常に偽だから
x∈A ならば ×∈B は恒真

というだけ。

>要素が一つもないφの要素xを認めることは矛盾であるはずですが、

意味不明です。Φに要素がないということは要素xというものが存在しないということでは全くありません。Φの中にないだけです。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/17 14:11

背理法（はいりほう) 又は 帰謬法（きびゅうほう）の事ですか。

但し「φがｓの部分集合である」とする命題ならば、
φ と云う集合が s の集合に 部分的に含まれる場合は、
この方法は 使えませんね。
高度な数学の分野は 理解していませんが、
中学・高校の分野では 集合の分野が 限定されるので、
証明に使えるのでは。