高校の微分の問題で、g(x)=x^3-3bx+3b^2のグラフはなぜ画像のようになるのですか？ h(

高校の微分の問題で、g(x)=x^3-3bx+3b^2のグラフはなぜ画像のようになるのですか？
h(x)=x^3-x^2+bで、αとβは２つのグラフの交点で、それぞれb、2bです。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2024/11/21 23:02

方程式

　　g(x) = h(x)
は
　　x^3-3bx+3b^2 = x^3-x^2+b
ってことですから
　　x^2 - 3bx + (3b^2 - b) = 0
という二次方程式。
　x=bとx=2bが解になるためには　b^2=b、すなわちbは0か1でなくちゃならんです。さておき、微分は関係ないと思う。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/18 08:51

交点は g(x)=h(x) の解なので

x^3-3bx+3b^2=x^3-x^2+b → x^2 -3bx + 3b^2 - b=0
ですが、解はb、2bではないですね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/17 18:58

g(x)=x^3-3bx+3b^2

と
h(x)=x^3-x^2+b
の
交点を(x,y)とすると
x^3-3bx+3b^2=y=x^3-x^2+b
x^3-3bx+3b^2=x^3-x^2+b
x^2-3bx+3b^2=b
(x-3b/2)^2+3b^2/4=b
(x-3b/2)^2=b(4-3b)/4

b(4-3b)≧0
0≧b(3b-4)
0≦b≦4/3
のとき
x=(3b±√{b(4-3b)})/2
だから
交点のx座標α,βは
α=(3b-√{b(4-3b)})/2
β=(3b+√{b(4-3b)})/2
だから
α,βは　b,2bにはなりません間違っています

α,βが　b,2bになるためには

h(x)=x^3-x^2+bではなく

h(x)=x^3-x^2+b^2
で
なければいけません

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/17 16:28

No.1 です。

極値をとるのは
　g'(x) = 3x^2 - 3b = 0
より、b≧0 で
　x = ± √b
のとき。

図に書かれている「極小」が x=√b のときなので、「極大」になる x=-√b　は表示範囲外になっているのでしょうね。

一方、h(x) が極値をとるのは
　h'(x) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2) = 0
より
　x=0 (極大), x=2/3 （極小）
ですから、確かにそんな形になっていますね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/17 16:00

g(x)=x^3-3bx+3b^2

と
h(x)=x^3-x^2+b
の
交点のx座標α,βは
α=(3b-√{b(4-3b)})/2
β=(3b+√{b(4-3b)})/2
だから
α,βは　b,2bにはなりません間違っています

α,βが　b,2bになるためには

h(x)=x^3-x^2+bではなく

h(x)=x^3-x^2+b^2
で
なければいけません

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/17 15:39

んん？

h(x) は三次関数ですが、g(x) は二次関数のように見えます。
もし g(x) が三次関数のグラフなら、「極大点」が図示の範囲外にあるのでしょうね。

「画像のように」というのが「どのように」なのか分かりませんが、
3次項の係数が正の三次関数のグラフは、x の増加に伴い

単調増加→極大→単調減少→極小→単調増加

というグラフになります。

そこに書かれている g(x), h(x) のグラフが、表示された範囲でそうなっているのは、「そういう関数だから」としか言いようがありません。