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No.1
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4πv^2 は、半径 v の球面積です。
半径 r の球の体積 B の微分が、球面積
dB/dr = 4πr^2 になるのは知っていますか?
置換積分のヤコビアンとして、これが現れているのです。
確率分布の変数変換は、累積分布関数で考えます。
直交座標 (vx,vy,vz) を球面座標 (v,θ,φ) で置換すると
∫Fs(v) dv = ∫∫∫F(vx,vy,vz) dvx dvy dvz
= ∫∫∫F(vx,vy,vz) (v^2 sinθ) dv dθ dφ
= { ∫F(vx,vy,vz) (v^2) dv }{ ∫sinθ dθ }{ ∫dφ }
= { ∫F(vx,vy,vz) (v^2) dv }{ 2 }{ 2π }
となって、この式を v で微分すれば
Fs(v) = F(vx,vy,vz) (v^2) ・ 4π
が現れます。
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