マクスウェルの速度分布について 式(23) dv は なぜ ベクトルなのですか？ 大体の記事はスカラ

マクスウェルの速度分布について
式(23) dv は なぜ ベクトルなのですか？ 大体の記事はスカラーになっていますが
式(25)のdv と d↑v の違いはなんですか？

https://www.jstage.jst.go.jp/article/jvsj2/56/6/ …

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/20 17:40

やっぱり引用のサイトは杜撰だ。

下記のように、微分がベクトルのものはちゃんとした定義がある。

このような場合は
　H(<r>)=(1/4π)∫[V] j(<r'>)×(<r>-<r'>)/|<r>-<r'>|³ d³r'
と略記するようだ(d³r'はスカラー表示)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%93%E3%82%AA …

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/19 19:30

全然違います。

以下、ベクトルを <・>で表す。

これは物理特有の略記法です(多分。書籍を見て判断する限り)。

　F(vx,vy,vz)=(・)^3/2exp((-m/2kT)(vx²+vy²+vz²)dvxdvydvz
と書くのが煩わしいからと思われる。

つまり、d<v> はベクトルではありません。単に、dvxdvydvz の略記です(でないと、積分の結果はベクトル???)。

微分がベクトルなものは
　∲<H>・d<s>=I
　d<H>=(I/4π)∫d<s>×<r>/r³
　∲<B>・d<S>=0
など、ちゃんとしたものがある。

似たようなのに
　∂φ/∂n=∇φ・<n>
という記法もある。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/19 18:34

リンク先に説明されている F(↑v) は、

(vx,vy,vz) を球面座標 (v,θ,φ) に変換したとき
v のみで値が決まり、θ,φ には依存しない関数になっています。
こういう関数を、球対称な関数とか言いますね。

このため、確率密度 F(↑v) を領域で積分して
累積分布関数を計算するとき、
被積分関数が θ,φ については定数となって
dv,dθ,dφ に関する積分が独立に行えます。
∫ F(↑v) d↑ｖ = ∫∫∫ F(↑v) dvx dvy dvz
　　　　　　　= ∫∫∫ F(↑v) (r^2)sinθ dv dθ dφ
　　　　　　　= { ∫ F(↑v) (v^2) dv }{ ∫ sinθ dθ }{ ∫ dφ }
　　　　　　　= { ∫ F(↑v) (v^2) dv } 4π
というわけです。
{ ∫ sinθ dθ }{ ∫ dφ } = ∫∫ sinθ dθ dφ は、
半径 1 の球面積を表していますから、4π になりますよね。

上の積分の式を、先頭の ∫ 記号を省いて
微分形式の式として書いたのものが
F(↑v) d↑ｖ = 4πv^2・F(↑v) dv.
添付画像では見切れていますが、
リンク先の 式(25) です。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2024/11/19 13:26

（１０）〜（１２）式のあたりに説明が書いてあります。

この説明でもよくわからない場合は、式の意味を考えながら式を追ってください。数学の基礎が身についていれば多分わかると思います。