写真の問題について質問なのですが、 ①微分方程式というものがよくわかりません。 g(a)=ce^(-

写真の問題について質問なのですが、
①微分方程式というものがよくわかりません。
g(a)=ce^(-a²/4)という式はどのようにして出できたのですか？(途中式も教えてほしいです。)
②g(0)=√π/2という式はなぜ求めているのですか？また、①のg(a)の式にa=0を代入しても
√π/2は求まらないと思うのですが、どの式に代入した結果なのですか？

以上の2点について解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/24 05:24

(1)

g'(a)=(-a/2)g(a)
g'=(-a/2)g
↓両辺をgで割ると
(1/g)g'=-a/2
↓両辺を積分すると
∫(1/g)dg=-(1/2)∫ada
log|g|=-a^2/4+c
|g|=e^{-a^2/4+c}
|g|=(e^c)e^{-a^2/4}
g=(±e^c)e^{-a^2/4}
↓C=±e^cとすると
∴
g(a)=Ce^{-a^2/4}

(2)
g(0)=C を求めるためにg(0)=√π/2を求める

g(a)=∫[0～∞]e^{-x^2}cos(ax)dx

↓a=0とすると

g(0)
=∫[0～∞]e^{-x^2}dx
=…(省略)
=√π/2

C=g(0)=√π/2

g(a)=Ce^{-a^2/4}

↓C=√π/2だから

g(a)=(√π/2)e^{-a^2/4}

↓∫[0～∞]e^{-x^2}cos(ax)dx=g(a)だから

∫[0～∞]e^{-x^2}cos(ax)dx=(√π/2)e^{-a^2/4}

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/11/25 12:17

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/24 09:08

>①のg(a)の式にa=0を代入しても

>√π/2は求まらないと思うのですが

g(a)の元々の定義にa=0を代入すると
g(0)=∫[0→∞]e^(-x^2)dx
これはガウス積分とかオイラー・ポアソン積分とか呼ばれてる
超有名な積分で√(π)/2になることが良く知られてます。

極座標に変換してサラッと積分してしまう手法とかが
あちこちで紹介されてるので調べてみるとおもしろいと思うよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2024/11/25 12:17