数学、物理が得意な方に質問です。 ロンスキアンが0じゃないことを言うにはどうしたら良いのでしょうか。

数学、物理が得意な方に質問です。

ロンスキアンが0じゃないことを言うにはどうしたら良いのでしょうか。


行と列が4行4列以上あり、中身がxの関数で書かれているとします。もちろん地道に計算するのも良いのですが、xの関数がe^x (sinx-xcosx)のような関数ばかりだと、計算が大変で、ミスを起こす可能性もありますよね。

では、x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、ロンスキアンが≠0となった場合、一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。


GPTやAIの利用はやめてください。GPT.AIの回答は求めてません。

また、GPT、AIによる回答は物理、数学の知識が全くないと人間であるとバレます。幼稚なことはやめてください。

また、私は理工系の数学しかやっていません。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/26 17:50

<では、x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、ロンスキアンが≠0となった場合、一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。

>

それは独立変数xのｎ個の関数が、あるｎ階線形同次微分方程式の
ｎ個の解からなるロンスキアンならたしかにそうです。
この場合、
dW(x)/dx＝－a(x)W(x)　がなりたつから
（a(x)はｎ階方程式の係数関数から出てくる既知の関数）
W(0)≠0なら他のｘについてもW(x)≠0　です。

もちろん一般のｎ個の関数のロンスキアンについて
W(0)≠0であっても他のｘについてW(x)≠0とは限りません。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/24 16:07

言えるんだけど...

これは、そこに登場する「0 でない」という言葉の
意味を正しく理解してるかどうかの問題。

いくつかの関数が線型従属ならば、それらの関数から作った
ロンスキアンは定数関数 0 になる。
対偶をとれば、ロンスキアンが恒等的に 0 じゃなければ、
もとの関数たちは線型独立だという話になる。
ロンスキアン行列の各項に x の値を代入して
ロンスキアン(行列式)の値が 0 でなかったとすれば、
関数としてのロンスキアンが定数関数 0 ではないことが
示されたと言っていい。

ただし、たまたま代入した x の値に対して
ロンスキアンの値が 0 になったからといって
「ロンスキアンが 0 だ」とは言えないから注意。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/24 09:53

線形独立性を示したいという話なら

例えば対象が4つなら
適当な4つのxについて
a・f1(x)+b・f2(x)+c・f3(x)+d・f4(x)=0
の解がa=b=c=d=0 になることを
ひとつ示せば良いと思う。

>x=0を代入してこの行列式が計算しやすくなって(0や1ばかり)、
>ロンスキアンが≠0となった場合、
>一般にそのロンスキアンは0でないといえるのでしょうか。

言えないです。でも問題なのは恒等的にゼロかどうかだと思うんだけど
そういう話じゃない?