大学物理

問題2　板に開けた小さな穴を通して，板上の質量mの小球と，板下の質量M の小球
が糸でつながれていて，板の上の小球は穴を中心として回転運動している．時刻t=0
のとき，小球と穴の距離はℓで，角速度はω0であった．この回転運動の半径は一定で
はなく変化している．板の面をx-y 平面と一致させ，穴の位置を原点Oとする．糸の
長さはLで，小球と板の摩擦は無視できるとする．重力加速度の大きさをgとする．
(1) 板の上下の小球の位置を，円筒座標系でそれぞれ(ξ,φ,z),(ξ′,φ′,z′) と表す．糸の
張力の大きさをT として，円筒座標系で板の上下の小球の運動方程式を書き表せ．
(2) 図から明らかなように，z=0, ξ′ =φ′ =0 である．また，糸の長さがLであるこ
とから，ξ−z′ =L(z′ < 0)，の関係がある．これらのことを用いて，運動方程式
からξ 以外の座標成分を消去し，ξ に関する微分方程式に書き改めよ．
(3) 板上の小球の角運動量を求めよ　

この問題でℓとw0をどのように使ったらよいか分かりません。教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/26 17:55

円筒座標はめんどくさいので r, φ、z としたい!(^^

dφ/dt = ω, dr/dt = v_r として
m の運動エネルギーは T = (1/2)m((rω)^2+ (v_r)^2)
M の運動エネルギーは T' = (1/2)M(v_r)^2

z = 0 での重力による位置エネルギーをゼロとすると
m の位置エネルギーは V = 0
M の運動エネルギーは V' = -(L-r)Mg

ラグランジアン L = T + T' - (V + V')
= (1/2)m(rω)^2 + (1/2)(m+M)(v_r)^2 + (L-r)Mg

#以下偏微分ではr ,v_r, φ、ωは独立変数であることに注意し
#d/dt では L の変数が時間の関数であることに注意して常微分すると

∂L/∂r - (d/dt){∂L/∂v_r} = 0
→ mrω^2 -Mg - (m+M)dv_r/dt = 0
→ (m+M)d^2r/dt^2 ＝　mrω^2 -Mg ①

①は動径の運動に関しては
(遠心力 - 重力) で mとMを引っ張る構図ですね。

∂L/∂φ - (d/dt){∂L/∂ω} = 0
→(d/dt)(mr^2ω)=0 ②

②はm の角運動量保存を表しているから
mr^2ω = ml^2ω0
となり、これで ωを消せば r の微分方程式になります。

という感じで、何も考えずに運動エネルギーと位置エネルギー
の式を作るだけで、後は勝手に運動方程式になってくれますし
保存則も勝手に出てきます。

大学物理で2つ以上の物体の絡み合いなら
こっちが楽です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/26 21:01

>M の運動エネルギーは V' = -(L-r)Mg

誤記
M の位置エネルギーは V' = -(L-r)Mg

解答内容に影響は無いです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/26 15:57

＞この問題でℓとw0をどのように使ったらよいか分かりません。

(1) の運動方程式は
・上の小物体
　　T = mξ(dφ/dt)^2　　　　①
・下の小物体
　　M･d²z'/dt² = T - Mg　　　②

(2) で、ξ - z′ = L より
　z' = ξ - L
なので、②は
　M･d²ξ/dt² = T - Mg　　　③
と書けますが、①は「ξ と φ の関係」がないと「φ」を消去できません。

そこで「角運動量保存」を使って
　L = mξ^2･ω = mℓ^2･ω0
より
　dφ/dt = ω = ℓ^2･ω0/ξ^2
として①に代入することで、「φ」を消去します。
これにより、①は
　T = mℓ^4･(ω0)^2/ξ^3　　　④

これを③に代入して
　M･d²ξ/dt² = mℓ^4･(ω0)^2/ξ^3 - Mg
が「ξ に関する微分方程式」となります。

(3) は、上のとおり
　L = mℓ^2･ω0

この回答へのお礼

理解できました。ありがとうございます。

お礼日時：2024/11/27 10:36

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/11/26 13:47

>この回転運動の半径は一定で

>はなく変化している．

この条件だったら
ラグランジアン作って
オイラーラグランジュの方程式を運動方程式にしてしまえば良いと思う。
mの角運動量は中心力で変化しないからt=0での角運動量でOK。
mの動径方向の速度成分は角運動量に寄与しないから
ωoとlがわかれば求まる。