エルミート演算子

エルミート演算子とは何ですか
エルミート行列ならわかるのですが

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2024/11/27 11:45

エルミート演算子とは、エルミート行列を無限次元空間に拡張した概念です。

エルミート行列の性質を、線形代数の枠組みを超えて、関数空間などの無限次元ベクトル空間における演算子に拡張したものです。

もう少し詳しく説明します。

エルミート行列: 複素数の成分を持つ正方行列で、自身の複素共役転置行列と等しい行列です。つまり、A = A^† (A^† は A の複素共役転置行列) を満たします。エルミート行列の固有値は全て実数です。これは量子力学において重要な性質です。

エルミート演算子: ヒルベルト空間（完備な内積空間、量子力学では状態ベクトル空間として用いられる）上で定義される線形演算子で、次の条件を満たすものです。

任意のベクトル |ψ⟩, |φ⟩ ∈ H について、

⟨ψ|A|φ⟩ = ⟨A^†ψ|φ⟩ = ⟨φ|A|ψ⟩*

ここで、

⟨ψ| はブラケット記法におけるブラベクトル (|ψ⟩ の双対ベクトル)

A^† は A のエルミート共役 (adjoint) 演算子

は複素共役

簡単に言えば、エルミート演算子は、そのエルミート共役と等しい演算子です。エルミート行列と同様に、エルミート演算子の固有値は全て実数です。この実数の固有値が、量子力学における物理量（エネルギー、運動量など）に対応します。

量子力学との関連:

量子力学において、物理量はエルミート演算子で表現されます。 なぜなら、物理量の測定値は実数でなければならないからです。エルミート演算子の固有値が実数であるという性質が、この要請を満たしているのです。 例えば、ハミルトニアン（系の全エネルギーを表す演算子）はエルミート演算子であり、その固有値は系のエネルギー準位を表します。

要約すると、エルミート演算子は、エルミート行列を無限次元空間へと一般化したもので、量子力学における物理量の記述に不可欠な概念です。 有限次元の場合のエルミート行列の性質を、無限次元の場合に自然に拡張したものと考えてください。