軌跡領域

シ〜ノ のsの最大値最小値をとる時のx，yの求め方がわかりません。解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• そこまではわかりました。
  最大値は点(2，2)から円の中心を通った先の円周上の点のようなのですがそれがなぜかわかりません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/11/30 17:21

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/11/30 22:16

点T(2,2)と円の中心C(3,3)を通る

直線y=x
と
円(x-3)^2+(y-3)^2=9との交点をM
領域Dの点をP
とすると
|PC|≦3=|MC|だから

|PT|≦|PC|+|CT|≦|MC|+|CT|=|MT|

だから

|MT|が最大値になる

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/01 14:22

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/01 08:56

＞ 最大値は点(2，2)から円の中心を通った先の円周上の点のようなのですが

＞ それがなぜかわかりません。

点P は、中心 (3,3), 半径 3 の円 (写真の手書きの円) と
中心 (2,2), 半径 ｒ (ただし s = 3r^2 + 30) の円の交点となっている。
s が最大になるのは、r が最大のときである。

中心を固定したふたつの円の半径をいろいろ変えて
円が交わる条件を考えてみると、
ｒ が最大になるのは、半径 ｒ の円が半径 3 の円に外接する場合
であることが判る。
https://www.mathlion.jp/article/ar131.html
↑の 3 個めの図で、 d と r2 が固定されていて r1 を変化させると考える。

このため、 r が最大になる P はふたつの中心を結んだ直線上にある。
計算は、No.2 のとおり。

この回答へのお礼

めちゃめちゃめちゃわかりました。ありがとうございます！！

お礼日時：2024/12/01 14:31

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/11/30 18:28

[ア]〜[ケ] は、写真の書き込みどおりで合ってますね。

[シ]〜[テ] は、
Ｐ が円と x=y の交点のとき最大なので、連立方程式
(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 9,
x = y
を解いて、 x = y = (6 + 3√2)/2.

[ト]〜[ノ] は、
P が (2,2) から y = -2x + 9 へ降ろした垂線の足のとき最小なので、
(x,y) = (2,2) + t(2,1) を直線の式へ代入して
(2 + t) = -2(2 + 2t) + 9 より
t = 3/5, x = 16/5, y = 13/5.

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/30 15:54

その上の「ク、ケ」までは分かったのですか？

そこに「点Ｐと (ク、ケ) の距離の平方と書いてありますから
・s の最大値：点Ｐと (ク、ケ) の距離が最大のとき（最も遠いとき）
・s の最小値：点Ｐと (ク、ケ) の距離が最小のとき（最も近いとき）
だということが分かりますよね？