大学数学 質問です 上限、下限の定義で疑問に思う点があります。 上限についてお話しします。 多くの上

大学数学　質問です

上限、下限の定義で疑問に思う点があります。

上限についてお話しします。

多くの上限の定義では、
αが上限ということは
①上界であること
②上界の中で最小であること

の2つから定義しますよね。

②の表現について疑問なのですが、よく任意のε>0を用いてα-εとαの間にxが存在して、、、、と考えてαの最小性を定めますよね。

ただ、②を単純に「任意の上界がα以上となる」としてはいけないのでしょうか。（使い勝手はともかく）

ご回答お願いします。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/01 23:02

>②(αが)上界の中で最小であること<

これはαが上界の元であり、かつ任意の上界の元xについて α≦x だと言っている。つまり、①+あなたの言う新②となる。

No.6 回答者： eatern27 回答日時： 2024/12/01 21:23

>「任意の上界がα以上となる」

という定義は却って煩雑な定義になります。

これを定義にした場合、集合Aの上界を求めるには
①Aの上界全体の集合Bを求める
②任意のBの元bがα以上である(α≦b)事を確かめる
のステップを踏む事になります。


ところが、①の段階で求まるべきBというのは
B={b|α≦b}
の形の集合で、このαこそが最終的に求めようとしているAの上限の事です。
つまり、①を達成できた(Bが求まった)のなら既にαが求まっているという事で、②に進む必要がありません。


別の言い方をすると、①を達成するには
求めたBとAの上界全体の集合が等しいかどうか
を判定できる事が必要です。その判定とは結果の所はαがどのような条件を満たせば、
B={b|α≦b}
がAの上界全体の集合と言えるか？の判断基準を与える事に相当します。

要は上限を定義するのと同じ事を①の前段階でやっておく必要があります。だったらこの段階で上限を定義した方が見通しは良いですよね。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/01 20:55

②で「最小」を持ち出すと、

そこに既にαが上界であることが含まれているので
(①かつ②)は冗長です。
②だけで「上限」を定義してもいいし、

②の代わりに「③ 上界の下界であること」を使って
(①かつ③)で定義してもいい。
あなたの「任意の上界がα以上となる」は、
③そのものですね。

上限や下限は、順序構造だけで定義できる概念なので、
(①かつ③)のように定義するのがむしろ通常だと思います。
私の手元にあるいくつかの本は、皆そちらのスタイルです。

ネット検索すると、なぜだか
「④ ∀ε>0, ∃x∈A, α-ε < x < α」のほうをよく見かける
のですが、引き算を使ってる時点で、単なる順序集合でなく
順序と両立する加法群を仮定してしまっています。
やや一般性に欠ける定義と言わざるを得ないでしょう。

④に利点があるとしたら、それは、
③よりも直感に訴えやすいことかもしれません。
実数の順序を扱う上では、何の不都合もないし。
また、「③ ∀β, (∀x∈A, x≦α) ⇒ α≦β)」よりも
論理式の構造が単純なことも、長所と言えるかもしれません。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/12/01 20:00

上界なのに、その上に未だ上界が有るの？

解って書いてる様ですが、

α∈R が A の上限であるとは，
x∈A⟹x≤α　かつ
任意の ε>0に対し，あるx∈A が存在して，α−ε≤x≤αなんでしょ？

αを超えてたら定義に反する。

No.3 回答者： おしめりさん 回答日時： 2024/12/01 18:48

上限のハナシですからね、

①でαを上界としています。
なのに（勝手に持って来た）任意の上界をα以上に置いたらイカンでしょうよ。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/01 18:16

・・・とおもいます。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/01 18:08

良いと思います。

①かつ「任意の上界がα以上となる」は②と同じ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
εを用いた定め方がよく見られるのは利便性からでしょうか？

お礼日時：2024/12/01 18:10