
大学数学 質問です
上限、下限の定義で疑問に思う点があります。
上限についてお話しします。
多くの上限の定義では、
αが上限ということは
①上界であること
②上界の中で最小であること
の2つから定義しますよね。
②の表現について疑問なのですが、よく任意のε>0を用いてα-εとαの間にxが存在して、、、、と考えてαの最小性を定めますよね。
ただ、②を単純に「任意の上界がα以上となる」としてはいけないのでしょうか。(使い勝手はともかく)
ご回答お願いします。
A 回答 (7件)
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No.6
- 回答日時:
>「任意の上界がα以上となる」
という定義は却って煩雑な定義になります。
これを定義にした場合、集合Aの上界を求めるには
①Aの上界全体の集合Bを求める
②任意のBの元bがα以上である(α≦b)事を確かめる
のステップを踏む事になります。
ところが、①の段階で求まるべきBというのは
B={b|α≦b}
の形の集合で、このαこそが最終的に求めようとしているAの上限の事です。
つまり、①を達成できた(Bが求まった)のなら既にαが求まっているという事で、②に進む必要がありません。
別の言い方をすると、①を達成するには
求めたBとAの上界全体の集合が等しいかどうか
を判定できる事が必要です。その判定とは結果の所はαがどのような条件を満たせば、
B={b|α≦b}
がAの上界全体の集合と言えるか?の判断基準を与える事に相当します。
要は上限を定義するのと同じ事を①の前段階でやっておく必要があります。だったらこの段階で上限を定義した方が見通しは良いですよね。
No.5
- 回答日時:
②で「最小」を持ち出すと、
そこに既にαが上界であることが含まれているので
(①かつ②)は冗長です。
②だけで「上限」を定義してもいいし、
②の代わりに「③ 上界の下界であること」を使って
(①かつ③)で定義してもいい。
あなたの「任意の上界がα以上となる」は、
③そのものですね。
上限や下限は、順序構造だけで定義できる概念なので、
(①かつ③)のように定義するのがむしろ通常だと思います。
私の手元にあるいくつかの本は、皆そちらのスタイルです。
ネット検索すると、なぜだか
「④ ∀ε>0, ∃x∈A, α-ε < x < α」のほうをよく見かける
のですが、引き算を使ってる時点で、単なる順序集合でなく
順序と両立する加法群を仮定してしまっています。
やや一般性に欠ける定義と言わざるを得ないでしょう。
④に利点があるとしたら、それは、
③よりも直感に訴えやすいことかもしれません。
実数の順序を扱う上では、何の不都合もないし。
また、「③ ∀β, (∀x∈A, x≦α) ⇒ α≦β)」よりも
論理式の構造が単純なことも、長所と言えるかもしれません。
No.4
- 回答日時:
上界なのに、その上に未だ上界が有るの?
解って書いてる様ですが、
α∈R が A の上限であるとは,
x∈A⟹x≤α かつ
任意の ε>0に対し,あるx∈A が存在して,α−ε≤x≤αなんでしょ?
αを超えてたら定義に反する。
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