数学、物理に強い方に質問です。 (d/dx -x)^(n-1) exp[x^2/2] d/dx (e

数学、物理に強い方に質問です。

(d/dx -x)^(n-1) exp[x^2/2] d/dx (exp[-x^2/2]f(x))が
exp[x^/2](d/dx exp[-x^2/2])^n f(x)となり、

最終的に


exp[x^2/2](d/dx)^n (exp[-x^2/2] f(x))

となるのはなぜですか。

特にこれらの間に途中式はありませんでした。思いつきなのでしょうか。
数学的帰納法でしか証明できませんか?


量子力学において、エルミート多項式を使って波動関数を表すところで計算に詰まってしまいました。


chat-gptやAIの利用は止めてください。物理や数学に詳しい方に質問しています。ベストアンサーがほしいと言う承認欲求なのか、回答者が最近、これらの使用が増えて、回答になってなくて困ってます。

カテゴリは量子力学の勉強中ででてきたので、数学ではなく物理学にしました。

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/12/05 09:48

2番目の式はわからないが最初の式から3番目の式を導くことはできる。

(d/dx-x)exp(x^2/2)g(x)を計算する。
(d/dx-x)exp(x^2/2)g(x)=d/dx{exp(x^2/2)g(x)}-x*exp(x^2/2)g(x)
=dexp(x^2/2)/dx*g(x)+exp(x^2/2)dg(x)/dx-x*exp(x^2/2)g(x)
となり、1項目と3項目が打ち消しあい2項目だけが残る。

(d/dx-x)exp(x^2/2)g(x)=exp(x^2/2)*dg(x)/dx
の関係は微分可能な全てのg(x)について成り立つことがわかる。
この操作をn-1繰り返せば
(d/dx-x)^(n-1) exp(x^2/2)*g(x)=exp(x^2/2)(d/dx)^(n-1) g(x)
となる。
g(x)をexp(-x^2/2)*f(x) とすれば元の1番目の式から3番目の式が得られる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

2式目は余計でした。

お礼日時：2024/12/06 18:50