熱伝導拡散方程式で ∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2 u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1

熱伝導拡散方程式で
∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
u (x､t)=f(x)

us(x)=u0+(u1-u0)x/L

周期関数のフーリエ展開を利用して
Cn=2/L ∫(0からL){f(x)-us(x)}sinnπxdx/L
と教えられたのがCnです。

このCnのLですが長さだと思っていたんですけど、
問題分が
∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2
u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
u (x､t)=f(x)
0<x<1という条件が加わったていて

この場合のLは1でいいんですか？

今まで

u(0､t)=0=u0、u(π､t)=0=u1
u (x､t)=f(x)
0<x<π この場合L=π
や
u(0､t)=0=u0、u(2､t)=0=u1
u (x､t)=f(x)
0<x<2 この場合L=2

というふうにxの値の範囲とuのときの範囲が揃っていたんですが今回の質問ではxの値に範囲とuの値に範囲が揃ってなくてどうLを入れればいいかわかりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/09 05:16

u(0,t)=0

u(L､t)=0
という条件から周期は
L
になり

u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-ktn^2π^2/L^2}sin(nπx/L)

になるのです

0<x<1 だからといってL=1 となるとはいえません

L の値は定まりません

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/07 09:24

←No.1 補足

＞ 問題文は
＞ ∂u/∂t=0.1∂^2u/∂t^2
＞ u(0､t)=0、u(L､t)=0
＞ u(x､0)=f(x)=sinπx
＞ 0<x<1
＞ です。

これが拡散方程式だというのであれば、
∂u/∂t = 0.1∂^2 u/∂t^2 は
∂u/∂t =0.1∂^2 u/∂x^2 の間違いでしょうね。

前回投稿↓の質問補足から話題になっている
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13980478.html
L が 1 かどうか？ については、
依然として判る情報がありません。
No.1 にも書いたように、 おそらく L = 1 なんだろな
と思えてしょうがない問題なんですが、こればかりは
実際にもとの問題を読んでる人が確認しないとね。
どうなんですか？

＞ Cnを使い
＞ u(x､t)=us(x)+Σ(n=1〜∞)Cn exp(-kKnt)sin(nπx/L)という形を求めたいです。

この問題に、その形で書ける解があるかどうかは、
方程式を見ても判りません。
ネットなどを見ると、u(x,t) = X(x)T(t) と変数分離して
X(x), T(t) を求める記事が多数見つかりますが、
どうしてそのように変数分離できる解があると判ったのか？
に関する説明は見かけません。

u(x,t) = us(x) + Σ[n=1〜∞] Cn exp(-kKnt) sin(nπx/L)
という形の解がみつけたい、または、そういう形の解があると
あらかじめ知っている... という立場で計算だけするのなら、
解を微分方程式へ代入して、 Cn の漸化式へ変換してしまえばいい
と思いますが。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/07 03:56

∂u/∂t=k∂^2u/∂t^2

は間違いで正しくは
∂u/∂t=k∂^2u/∂x^2

u(x､t)=f(x)
は間違いで正しくは
u(x,0)=f(x)

∂u/∂t=k∂^2u/∂x^2　…(1)
u(0､t)=0, u(L､t)=0
u(x,0)=f(x)
とする

u(x,t)=X(x)T(t)
と置く

↓これを(1)に代入すると

X(x)T'(t)=kX"(x)T(t)

T'(t)/{kT(t)}=X"(x)/X(x)

左辺はtだけの関数右辺はxだけの関数だから
定数になるからそれをμと置く

T'(t)/{kT(t)}=X"(x)/X(x)=μ

μ>0のとき
X(x)=c1e^{-x√μ}+c2e^{x√μ}
u(0,t)=X(0)T(t)=(c1+c2)T(t)=0
c1+c2=0
c2=-c1
u(L,t)=X(L)T(t)=(c1e^{-L√μ}-c1e^{L√μ})T(t)=0
c1(e^{-L√μ}-e^{L√μ})=0
c1=0=c2
X(x)=0

μ=0のとき
X(x)=c1x+c0
u(0,t)=X(0)T(t)=c0T(t)=0
c0=0
u(L,t)=X(L)T(t)=c1LT(t)=0
c1=0
X(x)=0

μ<0
X(x)=c1cos(x√-μ)+c2sin(x√-μ)
u(0,t)=X(0)T(t)=c1T(t)=0
c1=0
X(x)=c2sin(x√-μ)
u(L,t)=X(L)T(t)=c2sin(L√-μ)T(t)=0
sin(L√-μ)=0
L√-μ=nπ
√-μ=nπ/L
X(x)=c2sin(nπx/L)

T'(t)/T(t)=kμ

T(t)=be^{kμt}

↓μ=-n^2π^2/L^2 だから

T(t)=be^{-ktn^2π^2/L^2}

これよりu(x,t)の一般解は,重ね合わせの原理より
∴
u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-ktn^2π^2/L^2}sin(nπx/L)

境界条件から
u(x,0)=Σ[n=1～∞]C(n)sin(nπx/L)=f(x)

C(n)=(2/L)∫[0～L]f(x)sin(nπx/L)dx

この回答へのお礼

u(0､t)=0=u0、u(π､t)=0=u1
u (x､0)=f(x)
0<x<π この場合L=π

u(0､t)=0=u0、u(2､t)=0=u1
u (x､0)=f(x)
0<x<2 この場合L=2

などを入れてCnやu(x、t)のL部分がπや2と書かれて答えを求めていくみたいです。
Cn=2/L=2/π
Cn=2/L=1 というふうに

今回は
∂u/∂t=0.1∂^2u/∂x^2
u(0､t)=0、u(L､t)=0
u (x､0)=f(x) =sinπx
0<x<1という条件ですが

この場合のLに何を入れていいかわかりませんか？uの方を見るとu(0､t)=0=u0、u(L､t)でL=L？
0<x<1をみるとL=1？とよくわかりません。

お礼日時：2024/12/08 23:57

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/06 18:55

初期条件が変わっていますが、↓のつづきではあるんでしょうね。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13980478.html
問題の記述は、かえって前より悪くなっているようですが。

＞ 周期関数のフーリエ展開を利用して
＞ Cn = 2/L ∫(0からL) { f(x) - us(x) } sin nπx dx/L
＞ と教えられたのが Cn です。

f(x) - us(x) をフーリエ展開したのなら、
C(n) = (2/L) ∫[0からL] { f(x) - us(x) } sin(nπx/L) dx
のはずです。 右端の /L は書き間違いだと思います。

また、同時に
(2/L) ∫[0からL] { f(x) - us(x) } cos(nπx/L) dx
が登場していないことが謎です。

＞ u(0､t)=0=u0、u(L､t)=0=u1
＞ us(x)=u0+(u1-u0)x/L

というのも何だかよく判らない書き方ですが、
u0, u1 は定数 0 なんでしょうか？
すると、 us(x) は定数関数 0 ってことになりますが
それでいいんですか？

＞ u(x､t)=f(x)

は、おそらく u(x,0) = f(x) の間違いなんじゃないか
と思いますが...　どうなんですかね？

＞ 0<x<1 という条件が加わったていて
＞ この場合の L は 1 でいいんですか？

L = 1 でいいか悪いかは、もとの問題文を
読んでみなければ判りようがありません。
質問文に問題が正しく引用されているとは思えない状況なので、
明確には答えようがないかな。

ただ、
境界条件が u(0,t) = 0, u(L,t) = 0 で与えられてるらしいこと、
us(0) = u0, us(L) = u1 になるような関数 us を使って
何かしようとしていること、
フーリエ展開を ∫[0からL] … dx の積分で計算していること
などを見ると、 x の変域を 0 ≦ x ≦ L で扱う問題に違いない
だろうなあ とは思いますよ。

もとの問題文をきちんと読んで、あなた自身が確認しましょうね。

この回答へのお礼

すいません。Cnは記述ミスでした。
正しくは、C(n) = (2/L) ∫[0からL] { f(x) - us(x) } sin(nπx/L) dxで合ってます。
問題文をそのまま書かずに少し変えて書いたので誤字が多くなってしまいました。
問題文は
∂u/∂t=0.1∂^2u/∂t^2
u(0､t)=0、u(L､t)=0
u (x､0)=f(x)=sinπx
0<x<1
です。

Cnを使い
u(x､t)=us(x)+Σ(n=1〜∞)Cn exp(-kKnt)sin(nπx/L)という形を求めたいです。

us(x)は初期条件とは無関係に、境界条件だけで決まる定常状態みたいな感じだった気がします。us(x)は0で問題ないです

お礼日時：2024/12/07 03:19