物理学に強い方に質問です
剛体振り子について
長さl、質量m、密度が一様な細い棒がその一端Oを通る滑らかな水平軸のまわりで回転できる。重力加速度の大きさをgとする。
がπ/2≦θ≦π/2の範囲で振動しているとき、棒が軸から受ける抗力の大きさRをθの関数で表せという問題です。
重心座標は
x=lcosθ/2
y=lsinθ/2
抗力のx成分をp、y成分をqとおく。
運動方程式は
mx''=mg+p
my''=q
回転の運動方程式は
Iθ''=-mgsinθ
慣性モーメントは
I=ml^2/3
エネルギー保存則より
E=Iθ'2/2+mgl(1-cosθ)/2=一定
抗力の大きさは
R=√(p^2+q^2)
で求められると考えました。
θ''は回転の運動方程式からもとめられますが、それを積分するとθ'は得られますが、積分定数が出てきてしまいす。
また、エネルギー保存則からθ'を導きたいのですが、初期条件がなくて上手く求められません。
この問題は初期条件がなくても求められますか??
また、求められなかった場合、
初期条件はθ=π/2で静かに棒を離したとします。
I(アイ)とl(エル)見にくくてすみません。

No.5
- 回答日時:
回転軸に関する回転の運動方程式
ω = dθ/dt
β = dω/dt
として
I = (1/3)mL^2 (I: 端点まわりの慣性モーメント)
Iβ = mg(L/2)sinθ (時計回りを正)
→ β = mg(L/2)sinθ/I ①
重心に関する回転の運動方程式
抗力の 棒の方向+反時計回り90度方向成分を F_θ とすると
I_g = (1/12)mL^2 (I_g: 重心まわりの慣性モーメント)
棒は剛体なので、ωやβはどの回転中心でも同じことを利用すると
I_g・β = (L/2)F_θ
→ F_θ = I_g・β/(L/2)
= (1/12)mL^2・mg(L/2)sinθ/{(1/3)mL^2・(L/2)}
= (1/2)mgsinθ
力学的エネルギー保存則から
(1/2)Iω^2 - (1/2)Lmgcosθ = 0
→ ω^2 = Lmgcosθ/I = Lmgcosθ/{(1/3)mL^2}=3gcosθ/L
棒と平行方向の釣り合いから
抗力の棒と並行で回転中心へ向かう力の成分を F_r とすると
向心力 = m(L/2)ω^2 = F_r - mgcosθ
→ F_r = m(L/2)ω^2+ mgcosθ = (3/2)mgcosθ+ mgcosθ
= (5/2)mgcosθ
向きが90度異なる F_r と F_θ の合力が抗力です。
オンラインで書きなぐってるから、どっか間違ってるかも(^^;
回答ありがとうございます。
どうやら、答えの合力はmg√{1+99(cosθ)^2}/4のようです
{{初期条件θ=π/2で静かに離す}}
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
ああ、
>π/2≦θ≦π/2の範囲で振動しているとき
とは、その範囲の任意の角度で、ということではなく、まさしく
「最大角度 π/2 で」
という意味ですか。
だったら「初期条件はθ=π/2で静かに棒を離した」ということでよいでしょう。
回答ありがとうございます。
んーー、そこが微妙ですよね。教授のオリジナル問題集で誘導が細かくて力になるのですが、一言足りないこと(初期条件、観測者の不明瞭)が多々あります。
最初の「♡お礼をする」で返信したときの初期条件で考えることにします。
No.3
- 回答日時:
-π/2≦θ≦π/2の範囲で振動している
とあるから
θ=π/2の前後でθ’は符号をプラスからマイナスにかわる
よって、θ’はθ=π/2で0になると考えます。
この条件をあなたのエネルギー保存式にいれて
E=mgl/2となるからこれを同じエネルギー保存式に入れて
両辺に共通して入っているmgl/2を消去すれば
(1/2)Iθ’^2-(1/2)mglcosθ=0 と出る、
このθ’^2と回転の方程式Iθ”=-mg(l/2)sinθから出るθ”をつかって
後の計算を進める。
No.2
- 回答日時:
おおむね合っていますが、所々おかしな点があります。
比較して考えてみて下さい。「エネルギー保存則より」としていますが、力学的エネルギーの保存の式は、運動方程式から導かれる物です。あなたは「=一定」としていますが、これでは一定値がまだ決まっていません(何を基準にしますか)。
棒の端を支点とした慣性モーメントをI, 質量をm, 棒の長さをL, ふれの角度をθ とする。
支点と重心間の距離をh=L/2 と置くと、時間微分を'で表して、運動方程式は、
I θ'' = -mgh sinθ = -mg(L/2) sinθ (1)
である。この方程式は θ<<1 の特殊な場合以外は解析的に解くことはできない。
θ<<1 の場合は、(1)を、
I θ'' = -mg(L/2) θ (2)
と近似して、単振動の解を得る。
なお、エネルギー保存の式は運動方程式から以下の様に導く。
(1)式の両辺にθ' をかけて、
(d/dt) { (1/2) I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ } = 0 (3)
積分して、
(1/2)I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ = C(一定値) (4)
これをエネルギー保存の式としても良いが、
積分定数Cを求める。
C = (1/2) I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ (5)
初期位置θ_0での初速度を θ'(0)=0 とおく。そこでの位置エネルギーは mg(L/2) (1-cos θ_0 ) であるから、
C = - mg(L/2) cos θ_0 - mg(L/2) (1-cos θ_0 ) = - mg(L/2)
Cを(4)に代入して、
(1/2) I θ'^2 = - mg(L/2) ( 1 - cos θ ) (6)
(6)が定数にポテンシャルエネルギーを導入したエネルギー保存の式である。
回答ありがとうございます。
エネルギー保存則についてこまかく細かく書くべきでしたね。
回答されてるように、回転の運動方程式から、θ'をかけて、重心が最下点にある時をポテンシャルエネルギーの基準値としています。
No.1
- 回答日時:
>この問題は初期条件がなくても求められますか??
振れの最大角度 θ = θ0 のとき
θ' = 0
とおけばよいだけでは?
0 ≦ θ0 ≦ π/2
という条件になります。
抗力の大きさRは最大角度 θ0 によって変わりますから、必然的に「θ0」が含まれることになります。
>初期条件はθ=π/2で静かに棒を離したとします。
それは特殊な条件であり、どんな「振れの最大角度 θ0」でも成り立つ式にしないといけないでしょう。
回答ありがとうございます。
角度を自分で設定するということですね。
実際、設定したところあまりにも式が複雑になってしまいました。
ある別の2冊の参考書はθ=π/2で初速0で離したとなっていたので、これを使います。
ありがとうございました。
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