物理学に強い方に質問です 剛体振り子について 長さl、質量m、密度が一様な細い棒がその一端Oを通る滑

物理学に強い方に質問です

剛体振り子について

長さl、質量m、密度が一様な細い棒がその一端Oを通る滑らかな水平軸のまわりで回転できる。重力加速度の大きさをgとする。
がπ/2≦θ≦π/2の範囲で振動しているとき、棒が軸から受ける抗力の大きさRをθの関数で表せという問題です。

重心座標は
x=lcosθ/2
y=lsinθ/2

抗力のx成分をp、y成分をqとおく。

運動方程式は
mx''=mg+p
my''=q

回転の運動方程式は
Iθ''=-mgsinθ

慣性モーメントは
I=ml^2/3

エネルギー保存則より

E=Iθ'2/2+mgl(1-cosθ)/2=一定


抗力の大きさは
R=√(p^2+q^2)
で求められると考えました。

θ''は回転の運動方程式からもとめられますが、それを積分するとθ'は得られますが、積分定数が出てきてしまいす。
また、エネルギー保存則からθ'を導きたいのですが、初期条件がなくて上手く求められません。

この問題は初期条件がなくても求められますか??


また、求められなかった場合、
初期条件はθ=π/2で静かに棒を離したとします。

I(アイ)とl(エル)見にくくてすみません。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/08 19:48

No.1 です。

ああ、

＞π/2≦θ≦π/2の範囲で振動しているとき

とは、その範囲の任意の角度で、ということではなく、まさしく

「最大角度 π/2 で」

という意味ですか。

だったら「初期条件はθ=π/2で静かに棒を離した」ということでよいでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

んーー、そこが微妙ですよね。教授のオリジナル問題集で誘導が細かくて力になるのですが、一言足りないこと(初期条件、観測者の不明瞭)が多々あります。



最初の「♡お礼をする」で返信したときの初期条件で考えることにします。

お礼日時：2024/12/08 20:26

No.6 回答者： syotao 回答日時： 2024/12/11 22:24

どうやら、答えの合力はmg√{1+99(cosθ)^2}/4のようです

{{初期条件θ=π/2で静かに離す}}

ええ、まったくそのとおりです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

詳解力学演習がそうなってました。教授はこれを参考にしたと思います。

お礼日時：2024/12/13 20:39

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/10 18:51

回転軸に関する回転の運動方程式

ω = dθ/dt
β = dω/dt
として
I ＝ (1/3)mL^2 (I: 端点まわりの慣性モーメント)
Iβ = mg(L/2)sinθ (時計回りを正)
→ β = mg(L/2)sinθ/I　①

重心に関する回転の運動方程式
抗力の 棒の方向+反時計回り90度方向成分を F_θ とすると
I_g = (1/12)mL^2 (I_g: 重心まわりの慣性モーメント)

棒は剛体なので、ωやβはどの回転中心でも同じことを利用すると
I_g・β = (L/2)F_θ
→ F_θ = I_g・β/(L/2)
= (1/12)mL^2・mg(L/2)sinθ/{(1/3)mL^2・(L/2)}
= (1/2)mgsinθ

力学的エネルギー保存則から
(1/2)Iω^2 - (1/2)Lmgcosθ = 0
→ ω^2 = Lmgcosθ/I = Lmgcosθ/{(1/3)mL^2}=3gcosθ/L

棒と平行方向の釣り合いから
抗力の棒と並行で回転中心へ向かう力の成分を F_r とすると
向心力 = m(L/2)ω^2 = F_r - mgcosθ
→ F_r = m(L/2)ω^2+ mgcosθ = (3/2)mgcosθ+ mgcosθ
= (5/2)mgcosθ

向きが90度異なる F_r と F_θ の合力が抗力です。

オンラインで書きなぐってるから、どっか間違ってるかも(^^;

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

どうやら、答えの合力はmg√{1+99(cosθ)^2}/4のようです

{{初期条件θ=π/2で静かに離す}}

お礼日時：2024/12/10 19:05

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/12/08 18:34

-π/2≦θ≦π/2の範囲で振動している

とあるから
θ＝π/2の前後でθ’は符号をプラスからマイナスにかわる
よって、θ’はθ＝π/2で0になると考えます。
この条件をあなたのエネルギー保存式にいれて
E=mgl/2となるからこれを同じエネルギー保存式に入れて
両辺に共通して入っているmgl/2を消去すれば
(1/2)Iθ’^2－(1/2)mglcosθ＝0　と出る、
このθ’^2と回転の方程式Iθ”＝-mg(l/2)sinθから出るθ”をつかって
後の計算を進める。

No.2 回答者： himagene 回答日時： 2024/12/07 17:17

おおむね合っていますが、所々おかしな点があります。

比較して考えてみて下さい。
「エネルギー保存則より」としていますが、力学的エネルギーの保存の式は、運動方程式から導かれる物です。あなたは「=一定」としていますが、これでは一定値がまだ決まっていません（何を基準にしますか）。

棒の端を支点とした慣性モーメントをI, 質量をm, 棒の長さをL, ふれの角度をθ とする。
支点と重心間の距離をh=L/2 と置くと、時間微分を'で表して、運動方程式は、
I θ'' = -mgh sinθ = -mg(L/2) sinθ (1)
である。この方程式は θ<<1 の特殊な場合以外は解析的に解くことはできない。
θ<<1 の場合は、(1)を、
I θ'' = -mg(L/2) θ (2)
と近似して、単振動の解を得る。

なお、エネルギー保存の式は運動方程式から以下の様に導く。
(1)式の両辺にθ' をかけて、
(d/dt) { (1/2) I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ } = 0 (3)
積分して、
(1/2)I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ = C(一定値)　(4)
これをエネルギー保存の式としても良いが、
積分定数Cを求める。
C = (1/2) I (θ'^2) - mg(L/2) cos θ (5)
初期位置θ_0での初速度を θ'(0)=0 とおく。そこでの位置エネルギーは mg(L/2) (1-cos θ_0 ) であるから、　
C = - mg(L/2) cos θ_0 - mg(L/2) (1-cos θ_0 ) = - mg(L/2)
Cを(4)に代入して、
(1/2) I θ'^2 = - mg(L/2) ( 1 - cos θ ) (6)
(6)が定数にポテンシャルエネルギーを導入したエネルギー保存の式である。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

エネルギー保存則についてこまかく細かく書くべきでしたね。

回答されてるように、回転の運動方程式から、θ'をかけて、重心が最下点にある時をポテンシャルエネルギーの基準値としています。

お礼日時：2024/12/08 20:29

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/06 23:25

＞この問題は初期条件がなくても求められますか??

振れの最大角度 θ = θ0 のとき
　θ' = 0
とおけばよいだけでは？
0 ≦ θ0 ≦ π/2
という条件になります。

抗力の大きさRは最大角度 θ0 によって変わりますから、必然的に「θ0」が含まれることになります。

＞初期条件はθ=π/2で静かに棒を離したとします。

それは特殊な条件であり、どんな「振れの最大角度 θ0」でも成り立つ式にしないといけないでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

角度を自分で設定するということですね。

実際、設定したところあまりにも式が複雑になってしまいました。

ある別の2冊の参考書はθ=π/2で初速0で離したとなっていたので、これを使います。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/12/07 15:32