No.3ベストアンサー
- 回答日時:
←補足 12/09 16:28
f’(x) = -2e^(-2x){ e^(4x) - 4e^(2x) + 1 }/(e^x + e^-x)^4 = 0
⇔ e^(4x) - 4e^(2x) + 1 = 0 だから、
t = e^(2x) と置いて
⇔ t^2 - 4t + 1 = 0
⇒ t = 2 ± √3.
x ≧ 0 の範囲で考えているから、 t ≧ 1 であって
t = 2 + √3 と判る。
この t を挟んで、 0 ≦ x < (1/2)log(2+√3) と (1/2)log(2+√3 < x で
f(x) の増減がどうなるかを考えれば、最大値が判る。
No.2
- 回答日時:
私も公式暗記は苦手で、学生時代は避けて通ってました。
商の微分より、積の微分のほうが簡単ですよね。
f’(x) = { (e^x - e^-x) (e^x + e^-x)^-3 }’
= (e^x - e^-x)’ (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { (e^x + e^-x)^-3 }’
= (e^x + e^-x) (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { -3 (e^x + e^-x)^-4 } (e^x + e^-x)’
= (e^x + e^-x) (e^x + e^-x)^-3 + (e^x - e^-x) { -3 (e^x + e^-x)^-4 } (e^x - e^-x)
= { (e^x + e^-x)(e^x + e^-x) - 3(e^x - e^-x)(e^x - e^-x) }/(e^x + e^-x)^4
= { e^(2x) + 2 + e^(-2x) - 3(e^(2x) - 2 + e^(-2x)) }/(e^x + e^-x)^4
= { -2e^(2x) + 8 - 2e^(-2x) }/(e^x + e^-x)^4
= -2e^(-2x){ e^(4x) - 4e^(2x) + 1 }/(e^x + e^-x)^4.
{ (e^x + e^-x)^-3 }’ を計算するところで、合成関数の微分も使っています。
最後の行の奇妙な変形は、 f’(x) の正負を t = e^(2x) で考えるために
あの形にしたんでしょうね。
No.1
- 回答日時:
「商の微分」を使います。
[g(x)/h(x)]’ = [g'(x)h(x) - g(x)h'(x)]/[h(x)]^2
これで
g(x) = e^x - e^(-x)
h(x) = [e^x + e^(-x)]^3
とすればよいです。
この公式の導出は、別なところで一生に1回でよいのでやってみましょう(1回やってみれば、あとは一生「公式」として使えばよい)
g'(x) = e^x + e^(-x)
h'(x) = 3[e^x + e^(-x)]^2・[e^x - e^(-x)]
になることが分かれば
[g(x)/h(x)] = {[e^x + e^(-x)][e^x + e^(-x)]^3 - [e^x - e^(-x)]・3[e^x + e^(-x)]^2・[e^x - e^(-x)]} / [e^x + e^(-x)]^6
= {[e^x + e^(-x)]^4 - [e^x - e^(-x)]^2・3[e^x + e^(-x)]^2} / [e^x + e^(-x)]^6
= {[e^x + e^(-x)]^2 - 3[e^x - e^(-x)]^2} / [e^x + e^(-x)]^4
= {e^2x + 2 + e^(-2x) - 3e^2x + 6 - 3e^(-2x)]} / [e^x + e^(-x)]^4
= {-2e^2x + 8 - 2e^(-2x)} / [e^x + e^(-x)]^4
= -2{e^2x - 4 + e^(-2x)} / [e^x + e^(-x)]^4
= -2e^(-2x)・{e^4x - 4e^2x + 1} / [e^x + e^(-x)]^4
e のなんちゃらがいろいろ出てきて大変ですが、根気強く・泥臭く書き出していきましょう。
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ありものがたりさん
なるほど…
上から4行目のe ^2x=2+√3は、f’(x)=0をどうやって計算すれば求められますか?