境界条件u(0、t)=0、u(2、t)=0
初期条件u(x、0)=f(x)
∂u/∂t=∂^2u/∂x^2
ただしf(x)=1 (0<x≦1) f(x)=0 (1<x<2)とするという問題について
聞きたいことがあります。
1つ目。Cnを求める時の
Cn=2/L ∫(0〜1)f(x)sin(nπx/L)dx=2/2 ∫(0〜1)sin(nπx/2)dxのインテグラルのところが0〜1で積分されて、求めた数式がcnとされているんですけど1〜2までを考えなくていいのはf(x)が0でCnが0となるため考える必要がないということですよね?
2つ目。この場合のΚは1ですか?

No.4ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
1~2までを考えなくていいのではありません
Cnが0となるのではありません
Cn=(0~2までの積分)は
(0~1までの積分)と(1~2までの積分)の和で
1~2までf(x)が0で(1~2までの積分)が0となるため
Cn=(0~2までの積分)は
(0~1までの積分)と等しくなるのです
C(n)
=∫[0~2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0~1]f(x)sin(nπx/2)dx+∫[1~2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0~1]1*sin(nπx/2)dx+∫[1~2]0*sin(nπx/2)dx
=∫[0~1]sin(nπx/2)dx
(2)
u(x,t)=Σ[n=1~∞]C(n)e^{-tn^2π^2/4}sin(nπx/2)
だから
e^{-Kt}=e^{-tn^2π^2/4}
ならば
K=n^2π^2/4
No.3
- 回答日時:
No.2 追記
そういうわけで、フーリエ係数を求める式は
Cn = (2/4) ∫[-2,2] f(x) sin(nπx/2) dx
になるのだが、 積分区間を分割して
Cn = (1/2)∫[-2,2] f(x) sin(nπx/2) dx
= (1/2)∫[-2,-1] f(x) sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[-1,0] f(x) sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[0,1] f(x) sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[1,2] f(x) sin(nπx/2) dx
= (1/2)∫[-2,-1] 0 sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[-1,0] (-1) sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[0,1] 1 sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[1,2] 0 sin(nπx/2) dx
= 0
+ (1/2)∫[0,1] sin(nπx/2) dx
+ (1/2)∫[0,1] sin(nπx/2) dx
+ 0
= ∫[0,1] sin(nπx/2) dx.
周期 2 ではなく周期 4 で扱っていることを忘れずに。
No.2
- 回答日時:
ひとつめの質問:
また、何を Cn と定義したのか書かずに
式だけ挙げて質問しているね。
懲りないというか、芸風が変わらないというか...
0 < x < 2 の範囲で定義された f(x) を
まず -2 < x < 2 の範囲の奇関数へ拡張し、
それを周期 4 で周期拡張した関数を f2(x) とする。
f2(x) を基本周期 4 でフーリエ展開すると、
sin項の係数がその Cn となり
cos項の係数は 0 となる。
基本周期が T とか L とかで入った
フーリエ係数の公式と比べてごらんよ。
ふたつめの質問:
K がどこにも見当たらないんだが?
No.1
- 回答日時:
u(0、t)=0
u(2、t)=0
u(x、0)=f(x)
∂u/∂t=∂^2u/∂x^2…(1)
f(x)=1 (0<x≦1) f(x)=0 (1<x<2)
u(x,t)=X(x)T(t)
と置く
↓これを(1)に代入すると
X(x)T'(t)=X"(x)T(t)
T'(t)/T(t)=X"(x)/X(x)
左辺はtだけの関数右辺はxだけの関数だから
定数になるからそれをμと置く
T'(t)/T(t)=X"(x)/X(x)=μ
μ>0のとき
X(x)=c1e^{-x√μ}+c2e^{x√μ}
u(0,t)=X(0)T(t)=(c1+c2)T(t)=0
c1+c2=0
c2=-c1
u(2,t)=X(2)T(t)=(c1e^{-2√μ}-c1e^{2√μ})T(t)=0
c1(e^{-2√μ}-e^{2√μ})=0
c1=0=c2
X(x)=0
μ=0のとき
X(x)=c1x+c0
u(0,t)=X(0)T(t)=c0T(t)=0
c0=0
u(2,t)=X(2)T(t)=2c1T(t)=0
c1=0
X(x)=0
μ<0
X(x)=c1cos(x√-μ)+c2sin(x√-μ)
u(0,t)=X(0)T(t)=c1T(t)=0
c1=0
X(x)=c2sin(x√-μ)
u(2,t)=X(2)T(t)=c2sin(2√-μ)T(t)=0
sin(2√-μ)=0
2√-μ=nπ
√-μ=nπ/2
X(x)=c2sin(nπx/2)
T'(t)/T(t)=μ
T(t)=be^{μt}
↓μ=-n^2π^2/4 だから
T(t)=be^{-tn^2π^2/4}
これよりu(x,t)の一般解は,重ね合わせの原理より
∴
u(x,t)=Σ[n=1~∞]C(n)e^{-tn^2π^2/4}sin(nπx/2)
境界条件から
u(x,0)=Σ[n=1~∞]C(n)sin(nπx/2)=f(x)
C(n)
=∫[0~2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0~1]1*sin(nπx/2)dx+∫[1~2]0*sin(nπx/2)dx
=∫[0~1]sin(nπx/2)dx+∫[1~2]0dx
=∫[0~1]sin(nπx/2)dx
={2/(nπ)}[-cos(nπx/2)][0~1]
={2/(nπ)}{1-cos(nπ/2)}
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