境界条件u(0､t)=0、u(2､t)=0 初期条件u(x､0)=f(x) ∂u/∂t=∂^2u/∂

境界条件u(0､t)=0、u(2､t)=0
初期条件u(x､0)=f(x)
∂u/∂t=∂^2u/∂x^2

ただしf(x)=1 (0<x≦1) f(x)=0 (1<x<2)とするという問題について

聞きたいことがあります。

1つ目。Cnを求める時の
Cn=2/L ∫(0〜1)f(x)sin(nπx/L)dx=2/2 ∫(0〜1)sin(nπx/2)dxのインテグラルのところが0〜1で積分されて、求めた数式がcnとされているんですけど1〜2までを考えなくていいのはf(x)が0でCnが0となるため考える必要がないということですよね？

2つ目。この場合のΚは1ですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/14 20:31

(1)

1～2までを考えなくていいのではありません
Cnが0となるのではありません

Cn=(0～2までの積分)は
(0～1までの積分)と(1～2までの積分)の和で
1～2までf(x)が0で(1～2までの積分)が0となるため
Cn=(0～2までの積分)は
(0～1までの積分)と等しくなるのです

C(n)
=∫[0～2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0～1]f(x)sin(nπx/2)dx+∫[1～2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0～1]1*sin(nπx/2)dx+∫[1～2]0*sin(nπx/2)dx
=∫[0～1]sin(nπx/2)dx

(2)

u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-tn^2π^2/4}sin(nπx/2)

だから

e^{-Kt}=e^{-tn^2π^2/4}

ならば

K=n^2π^2/4

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/11 09:16

No.2 追記

そういうわけで、フーリエ係数を求める式は
Cn = (2/4) ∫[-2,2] f(x) sin(nπx/2) dx
になるのだが、 積分区間を分割して
Cn = (1/2)∫[-2,2] f(x) sin(nπx/2) dx
　= (1/2)∫[-2,-1] f(x) sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[-1,0] f(x) sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[0,1] f(x) sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[1,2] f(x) sin(nπx/2) dx
　= (1/2)∫[-2,-1] 0 sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[-1,0] (-１) sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[0,1] 1 sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[1,2] 0 sin(nπx/2) dx
　= 0
　　+ (1/2)∫[0,1] sin(nπx/2) dx
　　+ (1/2)∫[0,1] sin(nπx/2) dx
　　+ 0
　= ∫[0,1] sin(nπx/2) dx.

周期 2 ではなく周期 4 で扱っていることを忘れずに。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/10 13:12

ひとつめの質問：

また、何を Cn と定義したのか書かずに
式だけ挙げて質問しているね。
懲りないというか、芸風が変わらないというか...

0 < x < 2 の範囲で定義された f(x) を
まず -2 < x < 2 の範囲の奇関数へ拡張し、
それを周期 4 で周期拡張した関数を f2(x) とする。
f2(x) を基本周期 4 でフーリエ展開すると、
sin項の係数がその Cn となり
cos項の係数は 0 となる。
基本周期が T とか L とかで入った
フーリエ係数の公式と比べてごらんよ。

ふたつめの質問：
K がどこにも見当たらないんだが？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/10 11:11

u(0､t)=0

u(2､t)=0
u(x､0)=f(x)
∂u/∂t=∂^2u/∂x^2…(1)
f(x)=1 (0<x≦1) f(x)=0 (1<x<2)

u(x,t)=X(x)T(t)
と置く

↓これを(1)に代入すると

X(x)T'(t)=X"(x)T(t)

T'(t)/T(t)=X"(x)/X(x)

左辺はtだけの関数右辺はxだけの関数だから
定数になるからそれをμと置く

T'(t)/T(t)=X"(x)/X(x)=μ

μ>0のとき
X(x)=c1e^{-x√μ}+c2e^{x√μ}
u(0,t)=X(0)T(t)=(c1+c2)T(t)=0
c1+c2=0
c2=-c1
u(2,t)=X(2)T(t)=(c1e^{-2√μ}-c1e^{2√μ})T(t)=0
c1(e^{-2√μ}-e^{2√μ})=0
c1=0=c2
X(x)=0

μ=0のとき
X(x)=c1x+c0
u(0,t)=X(0)T(t)=c0T(t)=0
c0=0
u(2,t)=X(2)T(t)=2c1T(t)=0
c1=0
X(x)=0

μ<0
X(x)=c1cos(x√-μ)+c2sin(x√-μ)
u(0,t)=X(0)T(t)=c1T(t)=0
c1=0
X(x)=c2sin(x√-μ)
u(2,t)=X(2)T(t)=c2sin(2√-μ)T(t)=0
sin(2√-μ)=0
2√-μ=nπ
√-μ=nπ/2

X(x)=c2sin(nπx/2)

T'(t)/T(t)=μ

T(t)=be^{μt}

↓μ=-n^2π^2/4 だから

T(t)=be^{-tn^2π^2/4}

これよりu(x,t)の一般解は,重ね合わせの原理より
∴
u(x,t)=Σ[n=1～∞]C(n)e^{-tn^2π^2/4}sin(nπx/2)

境界条件から
u(x,0)=Σ[n=1～∞]C(n)sin(nπx/2)=f(x)

C(n)
=∫[0～2]f(x)sin(nπx/2)dx
=∫[0～1]1*sin(nπx/2)dx+∫[1～2]0*sin(nπx/2)dx
=∫[0～1]sin(nπx/2)dx+∫[1～2]0dx
=∫[0～1]sin(nπx/2)dx
={2/(nπ)}[-cos(nπx/2)][0～1]
={2/(nπ)}{1-cos(nπ/2)}