問題は上の写真の式を満たす正整数x,yの組を全て求めよ です。 解答にかいてあるx=2^m(2n+1

問題は上の写真の式を満たす正整数x,yの組を全て求めよ
です。
解答にかいてあるx=2^m(2n+1)でなぜxをこのようにおいたのかの理由がよくわかりません。

No.8 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/12 21:09

2m(2n+1)=2n+1 となるような整数mが存在すると仮定すると

↓両辺を2(2n+1)で割ると
m=1/2
となってmが整数であることに矛盾するから

2m(2n+1)=2n+1 となるような整数mが存在しない
だから
2m(2n+1)はすべての正整数を表わすことはできません

一方
m=0とすると

2^m(2n+1)=2^0(2n+1)=2n+1
となるから
2^m(2n+1)=2n+1 となるような整数m=0が存在するのです

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/11 14:23

2m(2n+1) はすべて偶数なので,すべての正整数を表わすことはできません

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/11 13:34

x が 2 で何回割り切れるのかに注目して、

割り切れる回数を m 回と置いているのです。
割った商は奇数になるので、2n+1 と置けます。

なんで m に注目するかというと...
方程式 3^x - 1 = (2^x)y から未知数の個数を減らすために
3^x ≡ １ (mod 2^x) と解釈してみます。
mod の法にも x が入ってるのは途方もない話ですが、
オイラーの定理(フェルマーの小定理に似たやつ)
が関係してそうだな？ という感触は得られます。 すると、
x (mod φ(2^x)), φ(2^x) = (2^x)(1 - 1/2) = 2^(x-1)
の値を考えて、ということになる。 そのためには
x の素因数分解に 2 が何個入っているか？は
重要な役割を持ちそうです。

で、 m を考えると、写真のような答案が作れた
というわけです。

No.5 回答者： cage64 回答日時： 2024/12/11 13:31

すべての正の整数xは x=2^m*(2n+1) (m,nは０以上の整数）と「一意的に」書くことができます(mはxが２で割り切れる回数）。

x=2m(2n+1)と表すこともできますが、m,nは一意的には決まりません（30=2^1*15 , 30=10*3=6*5)。

その解答では、こうおくと、3^x-1 に、２という素因子がどのくらい含まれるか（何回2で割り切れるか）が評価できる、といっています。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/11 11:35

(3^x)-1=(2^x)y

を満たす正整数x,yの組を求めるために

x=2^m(2n+1)

とおいたのです

(3^x)-1=(2^x)y

x=1のとき
(3^x)-1=3^1-1=2=2*1=(2^1)y
y=1

x=2のとき
(3^x)-1=3^2-1=8=4*2=(2^2)y
y=2

x=4のとき
(3^x)-1=3^4-1=80=16*5=(2^4)y
y=5

x≧3
xが奇数と仮定すると
x=2n+1 となる整数nがある
3^x=3^(2n+1)=3(9^n)=3(4*2+1)^n=3(mod4)
だから
3^x=4k+3 となる整数kがある
(3^x)-1=4k+2=2(2k+1)=(2^x)y
だから
x=1となってx≧3に矛盾するから

x≧3は偶数だから

xが3以上の奇数のときn≧1
x=2^0(2n+1)のとき(3^x)-1=(2^x)yとなる(x,y)は存在しない

ある非負整数mに対して
x=2^m(2n+1)のとき(3^x)-1=(2^x)yとなる(x,y)は存在しないと仮定して

x=2^(m+1)(2n+1)のとき(3^x)-1=(2^x)yとなる(x,y)は存在しない
ことを
証明すれば

すべての非負整数mに対して
x=2^(m+1)(2n+1)のとき(3^x)-1=(2^x)yとなる(x,y)は存在しない
ことを
証明することができる
から
x=2^(m+1)(2n+1)
とおいたのです

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/11 09:51

No.1&2 です。

＞簡単に理解できる同値な式なのでもとの式書く必要ないと考えました。

ここで質問するということは「分からないから」だと思うので、あなたが勝手に考えたこと自体が間違っているかもしれませんよ。

いずれにせよ、
「非負整数 m, n を用いて x = 2^m･(2n + 1)」
ということは、
　m=0 のとき「奇数」
　n = 0 のとき「偶数」
　m ≠ 0, n ≠ 0 のとき「偶数と奇数の積」
ということで、すべての正整数を表わしていると思いますが？

この回答へのお礼

なぜ2^mを使っているのですか。全て表すためにはべつに2m(2n+1)とかでもよくないですか

お礼日時：2024/12/11 10:35

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/11 00:37

No.1 です。

＞3^x-1=(2^x)yを満たす正整数x,yの組を全て求めよ。です

3^x - 1 = (2^x)y
だと、画像の「与えられた方程式を書き換えると」と同じですね。
ということは、問題文で与えられた式はそれではないのでは？

この回答へのお礼

簡単に理解できる同値な式なのでもとの式書く必要ないと考えました。-1を右辺に移動したら問題文の式が得られます

お礼日時：2024/12/11 01:26

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/11 00:14

解説だけでなく、そもそもの問題文を全文載せないと、何をするのか、どんな条件なのかが分かりませんよ。

この回答へのお礼

3^x-1=(2^x)yを満たす正整数x,yの組を全て求めよ。です

お礼日時：2024/12/11 00:32