大学数学 線形代数

(3)から(5)が分からないです。
(3)+〇の計算になれておらず、どう計算してもy=0になってしまいy>0の条件と矛盾してしまいます…
どなたか解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 分かりやすい説明ありがとうございます！(2)で零元を0としていました…なぜ零元がiとなるのですか？(2)の解説もお願いしたいです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/12/13 13:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/13 13:27

＞ (2)の解説もお願いしたいです。

零元 というのは、任意の元に足したとき
もとの元と同じ値になるもののことです。

任意の x + y i に対して (x + y i) (+) (u + v i) = x + y i
が成り立つような u + v i を探せばよい。

(x + y i) (+) (u + v i) = (x + u) + (yv)i ですから、
x + u = x,
yv = y
が任意の x, y で成り立つような u, v です。

u = 0, v = 1 ですね？

この回答へのお礼

なるほど…！零元の理解が曖昧でした…ありがとうございます！

お礼日時：2024/12/13 13:32

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/12 14:32

演算の定義に沿って、淡々と計算するだけでしょう。

(3)
(2)の零元 0 + 1 i は解ったのかなあ？
加法逆元を x + y i と置くと、
(√3 + √2 i) (+) (x + y i) = (√3 + x) + (√2 y)i
　　　　　　　　　　　= 0 + 1 i
から
√3 + x = 0, √2 y = 0.
すなわち、 x = -√3, y = 1/√2.
(√3 + √2 i) の逆元は、 x + y i = -√3 + (1/√2) i.

(4)
これも、一次従属の定義どおりに...
a (×) (1 + 2√3 i) (+) b (×) (3 + y i) = (a + (2√3)^a i) (+) (3b + y^b i)
　　　　　　　　　　　　　　　　= (a+3b) + ((2√3)^a)(y^b) i
　　　　　　　　　　　　　　　　= 0 + 1 i
から
a+3b = 0, (2√3)^a)(y^b) = 1.
すなわち、 a = -3b, (2√3)^-3b)(y^b) = 1.

これが a = b = 0 以外の解を持つためには、
((2√3)^-3 y)^b = 1 が b = 0 以外で成り立つように
(2√3)^-3 y = 1 であることが必要十分。
すなわち、 y = (2√3)^3 = 24√3.

(5)
V は実２次ベクトル空間なので、
一次独立なベクトル２個の組を上げればよい。
(4)で y = 24√3 以外の値を代入すればよいから、
例えば y = 1 を選ぶと { 1 + 2√3 i, 3 + 1 i }.

この回答へのお礼

分かりやすい説明ありがとうございます！(2)で零元を0としていました…なぜ零元がiとなるのですか？(2)の解説もお願いしたいです。

お礼日時：2024/12/13 13:09