exp[x^2]を定義に従って微分するにはどうしたらいいですか。 高校数学でも可能ですか。 自分の考

exp[x^2]を定義に従って微分するにはどうしたらいいですか。

高校数学でも可能ですか。



自分の考え
hは十分小さい。

exp[(x+h)^2]-exp[x^2]

=exp[(x^2+2xh+h^2]-exp[x^2]

exp[x^2]でくくって

exp[x^2]｛ exp[2xh+h^2]-1｝

ここで、tは十分小さいものとして、

exp[t]~1+t→exp[t]-1~tより

t=2xh+h^2を代入して (∵hも小さい)

exp[x^2](2xh+h^2)

微分の定義より

exp[x^2](2xh+h^2)/h

=exp[x^2](2x+h)

h→0

2x exp[x^2 ]となる。

数学Ⅲの微積習いたての高校生でもできるくらいもっと簡単にできませんか。

理工系の大学生のため数学科がやるよな厳密な数学だと回答が読めません。すみません。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/13 22:00

画像の通り

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

｛exp[t]-t｝/t の証明も必要なのでやっぱり合成関数の微分法を示した方が早い気がします。

ありがとうございました。

お礼日時：2024/12/14 18:45

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/14 13:55

←No.6

ちな、No.4 は「微分係数」の定義に沿ったつもり。
冪級数展開の係数だから「微分係数」って呼ぶ とすれば、
n 次微分係数は、テイラー展開の n 次項に n! を掛けたもの
として定義される。
この定義は、高次微分係数について明快だと思う。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/14 12:51

定義に従ってというのは

導関数の定義に戻ってという
意味だろうか？
それも面白いけど、汎用性がないので
合成関数の導関数の公式の証明を行ったうえで
それを使う方がよいと思う。

https://hiraocafe.com/note/differential_of_compo …

工学系なら簡単な証明の方で十分

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/14 08:56

細かい話で恐縮ですが理工系の大学生との事なので少し。

大学の微積分には高校では習わなかった「微分」と言う概念が出て来ます。もちろんこれは「導関数を求める」と言う意味ではなく多変数関数で言う全微分に当たるものです。なので質問文の「微分の定義より」とある所は本来は「導関数の定義より」と書くべきだったと思います。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/14 08:13

数学科の学生もれっきとした「理工系の大学生」ですが。

それに現役の理工系の大学生であれば「導関数等の実際の計算は高校数学と全く同じ」と言う事はお分かりのはずだと思います。大学で習うイプシロン･デルタ論法は極限値の定義ないし基礎付けに必要と言うだけであって、実際の計算にはほぼ使いません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

あーー、自分の通っているキャンパスで考えてました。数学科とある学科(ちょっと特殊な名前の学科で、学校バレするので言いません。)だけ別のキャンパスにあって、数学科のことは頭になかったです。

お礼日時：2024/12/14 13:06

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/14 00:18

exp の定義 exp(z) = Σ[k=0→∞] (1/k!)z^k に

z = (x+h)^2 を代入すると、
exp((x+h)^2) = Σ[k=0→∞] (1/k!)(x+h)^(2k)
　　　　　　= Σ[k=0→∞] (1/k!) Σ[j=0→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^j
　　　　　　= { Σ[k=0→∞] (1/k!) 1 x^(2^k) }　　　　　　　　← j=0 の項
　　　　　　　+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) (2k) (x^(2k-1))h }　　　　← j=1 の項
　　　　　　　+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) Σ[j=2→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^j }
　　　　　　= { Σ[k=0→∞] (1/k!) (x^2)^k) }
　　　　　　　+ 2x { Σ[k=1→∞] (1/(k-1)!) (x^2)^(k-1)) } h
　　　　　　　+ { Σ[k=1→∞] (1/k!) Σ[j=2→2k] ((2k)Cj)(x^(2k-j))h^(j-1) } h^2
　　　　　　= exp(x^2)
　　　　　　　+ 2x exp(x^2) h
　　　　　　　+ O(h^2).
テイラーの定理を用いた微分係数の定義により、
(d/dx) exp(x^2) = 2x exp(x^2) になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。


exp[x]の定義から導くのですね。初めてみました。合成関数の微分法を示したほうが早いかもしれませんね。

ありがとうございます。

お礼日時：2024/12/14 18:49

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/12/13 21:34

ごめん。

先ず、合成関数の公式[dy/dx=(dy/du)(du/dx)]を証明して置いて、それを使います。
この公式の証明は長くなるので、検索して下さい。

u=x²と置いて

y=eᵘを定義に従ってuで微分
u=x²を定義に従ってxで微分

結果を掛け算した完了。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

合成関数の微分法示した方がはやいですね。

お礼日時：2024/12/14 18:44

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/12/13 21:03

lim[h→0]は見ずらくなるので、limと書きます。

lim (eʰ-1)/h=1を使います。
この証明は自分で検索なりして下さい。

後は、指数計算で変形して行くだけです。

f(x)=e²ˣとおく。

f'(x)=lim (f(x+h)-f(x))/h

=lim (e²⁽ˣ⁺ʰ⁾-e²ˣ)/h

=lim e²ˣ･(e²ʰ-1)/h

=lim 2e²ˣ･(e²ʰ-1)/(2h)

=2e²ˣ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

exp[2x]ではなく、exp[x^2]です。

お礼日時：2024/12/13 21:18