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テイラー展開を使わないで証明してください!

質問者からの補足コメント

  • プンプン

    やってちょ!

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/17 23:38
  • sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,
    cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
    ーー>
    これ証明してちょ

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 11:12
  • うーん・・・

    アザッス!!!


    >(d/dx)^2 f(x) = -f(x) の一般解については、どこの入門書にもある
    定係数線型微分方程式の一般解法によって...
    固有方程式 λ^2 = -1 の解が λ = ±i で、これを用いて
    { e^(λx) } が解空間の基底をなす。
    ーー>
    たしかに・・・
    あまりにも数学的ですね!
    強引にも見えるが・・・

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/18 20:47
  • うーん・・・

    難しく考えすぎ!!!

    No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2024/12/20 07:39

A 回答 (8件)

f(x)=(cosx-isinx)e^{ix}…(1)


とする
↓xで微分すると
f'(x)
=(-sinx-icosx)e^{ix}+(cosx-isinx)ie^{ix}
=(-sinx-icosx+icosx+sinx)e^{ix}
=0

したがってすべての実数xについてf'(x)=0が成り立つから
f(x)は定数関数である
f(x)=f(0)より
f(x)=(cos0-isin0)e^{0i}=1
↓これを(1)に代入すると
(cosx-isinx)e^{ix}=1
↓両辺に(cosx+isinx)をかけると
(cosx+isinx)(cosx-isinx)e^{ix}=cosx+isinx
{(cosx)^2+(sinx)^2}e^{ix}=cosx+isinx
↓(cosx)^2+(sinx)^2=1だから

e^{ix}=cosx+isinx
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この回答へのお礼

ありがとう

この証明みたことある!

お礼日時:2024/12/18 11:30

> 強引にも見えるが・・・



大切なのは、 sin, cos の定義に何を採用して
その定義の下で証明するのか? ってこと。
具体的な証明の内容は、むしろ枝葉の話。

関数を冪級数で明示的に定義する立場からは No.1 が、
関数を微分方程式で定義する立場からは No.7 が
簡潔で素直な証明だが、個人的には No.2 No.3 の方法が
構成的で好き。

ちな、No.3 の流儀では、 exp も
log x = ∫[1,x] (1/t)dt の逆関数として定義するのがイイ。
この回答への補足あり
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例えば、前の質問↓にもちょろっと書いたが、


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13989625.html
微分方程式の解として関数を定義する方法がある。

(d/dx) f(x) = f(x), f(0) = 1 の解を f(x) = exp(x),
(d/dx)^2 f(x) = -f(x), f(0) = 0, f’(0) = 1 の解を f(x) = sin(x),
(d/dx)^2 f(x) = -f(x), f(0) = 1, f’(0) = 0 の解を f(x) = cos(x)
と定義してみる。
解の存在と一意性については、ここに書いてるとキリがないので
解析の教科書等を参照のこと。

(d/dx)^2 f(x) = -f(x) の一般解については、どこの入門書にもある
定係数線型微分方程式の一般解法によって...
固有方程式 λ^2 = -1 の解が λ = ±i で、これを用いて
{ e^(λx) } が解空間の基底をなす。

すなわち、上記の定義によって
sin(x) = A e^(ix) + B e^(-ix),
cos(x) = C e^(ix) + D e^(-ix) ;A,B,C,Dは定数
と表せる。

上記定義の初期条件を代入して、連立一次方程式を解けば、
A = 1/2, B = -1/2, C = 1/2, D = 1/2 が求められる。 QED
この回答への補足あり
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> sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,


> cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
> これ証明してちょ

いや、だから、
その式が sin, cos の定義だって言ってるでしょ?

他の定義の下で証明してほしいなら、
自分が採用した定義を書かにゃ話が始まらんがな。
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この回答へのお礼

うーん・・・

??????

お礼日時:2024/12/18 20:13

>テイラー展開を使わないで



定義域拡張は禁止ということなら、
「複素指数関数は存在しない」で良くない?

そういう数学を定義したんだから仕方がない。
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この回答へのお礼

ありがとう

お礼日時:2024/12/18 11:12

三角関数の定義


sin(x) = { exp(ix) - exp(-ix) }/2,
cos(x) = { exp(ix) + exp(-ix) }/2.
から、連立一次方程式を解く。
この回答への補足あり
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最初からそのように定義すればいい.

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この回答へのお礼

Thank you

お礼日時:2024/12/18 11:10

無理!

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