放物線

放物線y=f(x)が線分AB(両端を含む)と共有点をもつようなpの値の範囲はという問題について
0<p/2≦1のときの求める条件は
f(1)≧3
f(3)≦3 1<p/2<2のときの求める条件は
f(p/2)≧3
f(3)≦3
である理由が全然わかりません。
教えて欲しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/28 20:51

画像には「前提条件」だけしか書いてありませんが、肝心な問題は

「放物線y=f(x)が線分AB(両端を含む)と共有点をもつようなpの値の範囲は」
ということですか？

（＊）で示された式
　y = ax(x - p)　　　　　　①
は理解できているのですか？

y=0 とは、池の水面のことですから
　y = ax(x - p) = 0
が成り立つのは
　x=0、x=p
のとき、つまりそのときに「噴水の水は池の表面」ということです。

問題で求めるのは、A(1, 3)、B(3, 3) ですから、y=3 の直線との交点が、x=1～3 の間を通るか、ということです。

①を一度展開して、「平方完成」の式にすれば
　y = ax(x - p)
　　= ax^2 - apx
　　= a(x^2 - px)
　　= a[(x^2 - px + (p/2)^2 - (p/2)^2]
　　= a[(x - p/2)^2 - (p/2)^2]
　　= a(x - p/2)^2 - (ap^2)/4
になります。

これは a<0 ですから
・上に凸の放物線
・頂点は (p/2, -(ap^2)/4)
・軸は x = p/2
ということです。

質問文に書かれている
・0 < p/2 ≦ 1 のとき
・1 < p/2 < 2 のとき
というのは、この「軸の位置」を場合分けしているのです。

(a) 0 < p/2 ≦ 1 のとき
　これは、軸が A よりも「左」にあるということなので、ABと共有点を持つのは「放物線の右半分」です。（放物線の左半分は共有点を持てない）
放物線の「右半分」は「単調減少」ですから
① A 点の x=1 のときには y=3 よりも上
② B 点の x=3 のときには y=3 よりも下
にあれば、どこかで AB と共有点を持ちます。
①は
　f(1) ≧ 3
ということであり、②は
　f(3) ≦ 3
ということです。

(b) 1 < p/2 < 2 のとき
　これは、軸が AB の間にあり、その中店よりも「左側」にあるということなので、確実にABと共有点を持つのは「放物線の右半分」です。（条件によっては左半分も共有点を持つ）
放物線の「右半分」は「単調減少」ですから
③ 放物線の軸では y=3 よりも上
④ B 点の x=3 のときには y=3 よりも下
にあれば、どこかで AB と共有点を持ちます。
③は
　f(p/2) ≧ 3
ということであり、④は
　f(3) ≦ 3
ということです。

グラフを書いてみて、「AB と共有点を持つには」と考えてみれば分かります。

なお、p/2 ≧ 2 のとき（p ≧ 4）には、噴水の水が池の外に飛び出すことになるので対象外なのでしょうね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/12/29 11:33

No.1 です。

#2 さんの

＞{ (gの判別式)≧0 かつ 1≦p/2≦3 かつ g(1)≦0 かつ g(3)≦0 }

は、「1≦p/2≦3」という条件下で
・「 (gの判別式)≧0 」は「f(p/2) ≧ 3」に相当
・「g(1)≦0 かつ g(3)≦0」は「f(1) ≦ 3 かつ f(3) ≦ 3」に相当
ということに相当します。
このうち「f(1) ≦ 3 かつ f(3) ≦ 3」は、共有点は「最低1つ」であればよいので「f(1) ≦ 3 または f(3) ≦ 3」でよいと思います。

また、そもそも「0 < p < 4」という条件があるので、
「1≦p/2≦3」という条件のうち「1≦p/2<2」だけを考えればよく、その場合には「f(3) ≦ 3」だけを考えればよいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/29 08:22

0<p/2≦1 を場合分けする必要は、特に無いのでは？

g(x)=f(x)-3 と置いて、
{ y=f(x) と y=3 が交わる } ⇔
{ g(1)g(3)≦0 } または
{ (gの判別式)≧0 かつ 1≦p/2≦3 かつ g(1)≦0 かつ g(3)≦0 }.
だけで済んでしまうと思う。