７の不思議

?t=213
ここですが、
ｎ／７は１４５８２７が変わらないのですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/31 20:15

10=7+3

10/7=1+3/7

3/7=10(1/7)-1
だから
1/7=0.142857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
1.42857142857…
の小数部が
3/7=0.42857142857…

30を7で割ると商は4余りは2だから
30=7*4+2
30/7=4+2/7

2/7=10(3/7)-4
だから
3/7=0.42857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
4.2857142857…
の小数部が
2/7=0.2857142857…

20を7で割ると商は2余りは6だから
20=7*2+6
20/7=2+6/7

6/7=10(2/7)-2
だから
2/7=0.2857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
2.857142857…
の小数部が
6/7=0.857142857…

60を7で割ると商は8余りは4だから
60=7*8+4
60/7=8+4/7

4/7=10(6/7)-8
だから
6/7=0.857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
8.57142857…
の小数部が
4/7=0.57142857…

40を7で割ると商は5余りは5だから
40=7*5+5
40/7=5+5/7

5/7=10(4/7)-5
だから
4/7=0.57142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
5.7142857…
の小数部が
5/7=0.7142857…

-----------------------------
1/17=0.058823529411764705882352941176470…
1/19=0.052631578947368421052631578947368421…
1/23=0.04347826086956521739130434782608695652173913…

この回答へのお礼

素晴らしい！！！
■
6/7=10(2/7)-2
だから
2/7=0.2857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
2.857142857…
の小数部が
6/7=0.857142857…
■
60を7で割ると商は8余りは4だから
60=7*8+4
60/7=8+4/7

4/7=10(6/7)-8
だから
6/7=0.857142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
8.57142857…
の小数部が
4/7=0.57142857…
■
40を7で割ると商は5余りは5だから
40=7*5+5
40/7=5+5/7

5/7=10(4/7)-5
だから
4/7=0.57142857…
を10倍(左へ1桁シフト)すると
5.7142857…
の小数部が
5/7=0.7142857…

https://sonofsamlaw.hatenablog.com/entry/2024/12 …

お礼日時：2024/12/31 21:40

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/12/31 13:04

#2 にあるように「素数 p=7 に対して 10進数で小数を表現するとその循環節の長さは p-1=6 になる」, つまり

整数 k>0 に対し, 10^k を p=7 で割った余りが 1 になるのは k=6 = p-1 が最初
というのが全て.

10^k を p で割ったときはじめて余りが 1 になるのが k=p-1 であればどんな p でもいい (例えば p=17, 97) し, 逆にそうでないなら (例えば p=3 とか 13 とか) ダメ.

この回答へのお礼

＞10^k を p で割ったときはじめて余りが 1 になるのが k=p-1 であればどんな p でもいい (例えば p=17, 97) し, 逆にそうでないなら (例えば p=3 とか 13 とか) ダメ.
ーー＞
たしかに・・・

お礼日時：2024/12/31 22:01

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/31 09:31

１/7 を小数になおす筆算を思い出してみましょう。

余りつき除算で
1÷7 は商 0 余り 1。
次にこの余りを、桁をずらして 7 で割って、
10÷7 は商 1 余り 3。　←[1]
以下、計算を続けると、
30÷7 は商 4 余り 2。
20÷7 は商 2 余り 6。　←[2]
60÷7 は商 8 余り 4。
40÷7 は商 5 余り 5。
50÷7 は商 7 余り 1。
となって、答えの小数に 0.142857... が並び、
余りが 1 になって [1] から作業を繰り返すことになります。
これが、1/7 が循環小数になる理由ですね。

この作業の繰り返しの中に、
余り 1, 2, 3, 4, 5, 6 が皆登場していることに注目しましょう。
例えば、2/7 を小数になおす場合は
1÷7 は商 0 余り 2。
の後、[2] から始めて同じ循環を行うことになります。
3/7, 4/7, 5/7, 6/7 でも、始める位置は違いますが
循環は同じです。

1/7 の循環節の長さが 7-1=6 であることが重要なのでした。

この回答へのお礼

＞答えの小数に 0.142857... が並び、
余りが 1 になって [1] から作業を繰り返すことになります。
これが、1/7 が循環小数になる理由ですね。

この作業の繰り返しの中に、
余り 1, 2, 3, 4, 5, 6 が皆登場していることに注目しましょう。
例えば、2/7 を小数になおす場合は
1÷7 は商 0 余り 2。
の後、[2] から始めて同じ循環を行うことになります。
3/7, 4/7, 5/7, 6/7 でも、始める位置は違いますが
循環は同じです。
ーー＞
たしかに・・・

お礼日時：2024/12/31 22:00

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/31 08:37

不思議ではありません。

むしろ「そうなるのが当たり前」となります。ある意味「そうなる数」の事を有理数と言うわけですし。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/12/31 09:01