底辺の半径r、高さhの円錐の断面積をS(x)とすると、なぜこのような式で表されるのかわからないです。

底辺の半径r、高さhの円錐の断面積をS(x)とすると、なぜこのような式で表されるのかわからないです。教えてくださいm(*_ _)m

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/09 00:55

No.1 が話の本質だと思うんですけどね。

話題の円錐を、高さが x になるように底面と平行な平面で切った
ときの断面積が S(x) ってことですよね？

それなら、もとの円錐と切り取られた円錐は相似の位置にあり、
相似比が x/h です。
もとの円錐の底面積は πr^2 なので、相似比を掛ければ、
切り取られた円錐の底面積 = 断面積 は、
= (πr^2) (x/h)^2 = π ( (x/h)r )^2 になります。

そんだけの話。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/08 18:03

図を書きながら解説を読んでください

題意の円錐を立てに切ったときの断面図(底面に対して垂直な断面の図)を書きます
たたし、断面は底面の中心を通るようにします
すると、二等辺三角形となります
底辺は直径に等しく2r
高さはhの二等辺三角形です

そしたら二等辺三角形内に、頂点からxだけ下った位置に水平な線分(位置xで円錐を水平に切ったときの断面に相当)を付け足し
この水平な線分の長さをLとおきます
水平線分付け足しにより、大小の二等辺三角形ができましたが、これらは相似なので
底辺の比＝高さの比
すなわち
L/2r＝x/hが成り立ちます
↔L＝2rx/h
ゆえに、水平な断面の半径L/2は
L/2＝rx/hです
この事から位置xにおける水平断面の面積S(x)は
S(x)＝水平断面の半径の2乗×π
＝(rx/h)²π
となります

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2025/01/08 17:51

> 底辺の半径r、高さhの円錐の断面積をS(x)とすると、

この断面積は、底辺に平行な断面、と言う条件が必要です。

底辺に平行な断面は、どの高さxでも円になります。
円の面積は、半径の二乗×PIです。
その半径は、底辺rから高さhの0までは直線的変化なので、
任意の高さxにおける半径は、((h-x)/h)×r　になります。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2025/01/08 17:47

xとは?