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なぜこのように極座標に変換できるのか教えてください
変換の手順が知りたいです

「なぜこのように極座標に変換できるのか教え」の質問画像

A 回答 (6件)

No.3 です。



#5 さん>極座標変換では、直交座標で (x,y)=(0,0) に対応するものが
線分 r=0, 0≦θ<2π になってしまい、1点に定まりません。

なので、問題の中に

「(原点以外は1対1)」

と注記しているのではないかな。
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No.1 の訂正:


間違っていました。No.2 〜 No.4 にも同じ間違いが見られるし、
写真を見ると、引用元まで同じ勘違いをしてるように感じるんだけど。

極座標変換では、直交座標で (x,y)=(0,0) に対応するものが
線分 r=0, 0≦θ<2π になってしまい、1点に定まりません。
([1] かつ [2]) ⇔ [3] ではないのでした。([3] ⇔ [4] は問題ありません。)
表したい図形が原点を含まない場合には平和なのですが...

これに対応する態度として、
[E] 表したい図形を全てカバーする (r,θ) をとる
[A] 表したい図形に対応しうる全ての (r,θ) をとる
または、その任意の中間がありえます。

写真右側の図や No.1 は [E] の態度をとっています。
写真左側の図に付記された「原点以外は1対1」という言葉
が何を意味/要求しているのかは不明ですが。

少なくとも、式変形上は ([1] かつ [2]) ⇔ [3] ではないのでした。
どうやって訂正しようかな?
[1] かつ [2] ⇔
{ r=0 (かつ 0≦θ<2π) } または { 0<r≦2cosθ かつ 0≦θ≦π/2 }
なんかどうでしょうか。
同値変形だと、[A] の態度をとることになります。
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(x-1)^2+y^2≦1


y≧0
r≧0
0≦θ<2π
x=rcosθ
y=rsinθ

(x-1)^2+y^2≦1
↓x=rcosθ,y=rsinθを代入すると
(rcosθ-1)^2+(rsinθ)^2≦1
r^2(cosθ)^2-2rcosθ+1+r^2(sinθ)^2≦1
r^2{(cosθ)^2+(sinθ)^2}-2rcosθ+1≦1
↓(cosθ)^2+(sinθ)^2=1だから
r^2-2rcosθ+1≦1
↓両辺から1を引くと
r^2-2rcosθ≦0
r(r-2cosθ)≦0
↓0≦rだから
0≦r≦2cosθ…(1)

0≦2cosθ
↓両辺を2で割ると
0≦cosθ…(2)

y≧0
↓y=rsinθを代入すると
rsinθ≧0
↓r≧0だから
sinθ≧0…(3)

(1),(2),(3)から

0≦r≦2cosθ
0≦θ≦π/2
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左の「x-y 直交座標でのハッチング部分」を、「極座標の r, θ での範囲」に変換するということですか?



直交座標から極座標への変換は、単純に
 x = r・cosθ
 y = r・sinθ
と置換すればよいです。
(ただし、1対1に対応させるため、r≧0, 0≦θ<2π とする)
あとは、与えられた条件での「r と θ の関係」「r と θ の範囲」を求めればよいです。

「与えられた条件」である左のハッチング部分は、そこに書かれたように
 (x - 1)^2 + y^2 ≦ 1    ①
の y≧0 の部分ということですね。

まずは、y = r・sinθ ≧ 0 から、r≧0 なので
 0≦θ≦π   ②
と範囲が限定されます。

そのときに、①は
 (r・cosθ - 1)^2 + (r・sinθ)^2 ≦ 1
→ r^2・cos^2(θ) - 2r・cosθ + 1 + r^2・sin^2(θ) ≦ 1
→ r^2 - 2r・cosθ ≦ 0
→ r(r - 2cosθ) ≦ 0
r ≧ 0 なので、これが成立するには
 r - 2cosθ ≦ 0 → 0 ≦ r ≦ 2cosθ    ③
②の範囲でこれを満たすのは、さらに
 0 ≦ θ ≦ π/2    ④
に限定されます。

ということで、「極座標の r, θ での範囲」は
・③ つまり r ≧ 0 かつ r = 2cosθ よりも「r が等しいか小さい側」で、かつ
・④ つまり 0 ≦ θ ≦ π/2
の範囲ということになります。

これが「右」の「r-θ 平面のハッチング部分」です。
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極座標ではなく 普通の xy直交座標では。


(x-1)²+y²=1 のグラフは 中心の座標が (1, 0) で 半径 1 の円ですよね。
で、y≧0 ですから x 軸から上の部分、つまり 第1象限だけ。
r=2cosθ でも、縦軸に θ、横軸に r を取れば、上と同じ事ですよね。
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極座標変換ですね。


x = r cosθ,
y = r sinθ,
r ≧ 0, 0 ≦ θ < 2π

(x - 1)^2 + y^2 ≦ 1, ←[1]
y ≧ 0       ←[2]
変換すると、

[1] は、
⇔ 0 ≧ (r cosθ - 1)^2 + (r sinθ)^2 - 1
   = { r^2 - 2r cosθ + 1 } - 1
   = r { r - 2cosθ },
r ≧ 0 なので
⇔ r = 0 または 0 < r ≦ 2cosθ.

[2] は、
⇔ r sinθ ≧ 0,
r ≧ 0 なので
⇔ r = 0 または sinθ ≧ 0
⇔ r = 0 または 0 ≦ θ ≦ π.

以上をまとめると、
[1] かつ [2] ⇔
0 ≦ r ≦ 2cosθ かつ 0 ≦ θ ≦ π ←[3]
となります。

そのような r が存在する θ の範囲は
0 ≦ 2cosθ となる 0 ≦ θ ≦ π/2
だけなので、

0 ≦ r ≦ 2cosθ かつ 0 ≦ θ ≦ π/2 ←[4]
と書いても [3] と同値です。
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この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです
ありがとうございます

お礼日時:2025/01/10 15:51

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