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モンスター群の定義に用いる「散在単純群」とかってなんでそんな分類をするのですか?分類してメリットがあるからするんでしょうけど、その辺りの意味合いを教えて貰えないでしょうか?
Wikipediaだと散在単純群は
「有限単純群の数学的分類では、どの無限族にも当てはまらない群がいくつかあります。これらは散在単純群、散在有限群、または単に散在群と呼ばれます。
単純群とは、自明群とG自身以外に正規部分群を持たない群Gのことである。」
で、
正規部分群は
「抽象代数学において、正規部分群(不変部分群または自己共役部分群とも呼ばれる)[ 1 ]は、それが属する群の要素による共役に対して不変である部分群である。」
で、
「共役」は「内部自己同型」のことで
「抽象代数学において、内部自己同型とは、共役元と呼ばれる固定された元の共役作用によって与えられる群、環、または代数の自己同型である。」
となります。
「無限群」というのはなかったのでこれについても教えて貰えると助かります。
何か全て抽象的で、こういった基準を設けることの意図が良く分かりません。

A 回答 (1件)

散在群は、何か基準を設けたというよりは、


有限単純群を分類していったときに
いくつか発見された族のどれにも含まれないもの
として残った群たちをまとめて呼んだ名前です。

有限群を分類しようとしたときに、
正規部分群を持つ群は
その正規部分群と商群の直積に分解されますから、
全ての単純群を分類すれば
全ての群は単純群の直積として分類されたことになる。
単純群を調べてゆくと、似たような性質を持った
いくつかの族が発見できて、大部分が覆えたけれど、
どの族にも属さない群がいくつか残った。
その群たちは、ひとつづつ個別に性質を調べなければならない。
...ということで、群の分類の最後のピースとして
発見/記述しなければならない群があったわけです。
それらをひと括りにして「散在群」と呼んだ。それだけです。
「その他」ってやつですね。
モンスター群は、それらの中で最大の群につけられた固有名詞です。

「無限群」は、単に、位数が有限でない群のことです。
整数の加法群とか、正則行列の乗法群とか、例は
身近なものがいくらでもありますよね。
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