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整式P(x)をx^2+x+1で割った余りが2x-1であるとき、整式xp(x)をx^2+x+1で割った余りを求めよ


解答

P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①

①にXを掛けて

xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)②

②より、xP(x)を(x^2+x+1)で割った余りは、x(2x-1)を(x^2+x+1)で割った余りに等しい *1

x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 *2

よって求める余りは-3x-2

*1
なぜ等しくなるのでしょうか?


*2
ここは、何の計算をしているのでしょうか?

A 回答 (4件)

>>*1


>>なぜ等しくなるのでしょうか?

Q(x)(x^2+x+1)xは(x^2+x+1)で割り切れて余りは出ない。
余りがでるのはx(2x-1)を(x^2+x+1)で割ったほうに決まってる。

7=2×3+1:2で割った余りは1。
2×3は2で割り切れるから、1の方で余りが出る。

>>*2
>>ここは、何の計算をしているのでしょうか?
余りの計算
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P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①



①にxを掛けて

xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2x^2-x
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2(x^2+x+1)-3x-2
xP(x)={Q(x)x+2}(x^2+x+1)-3x-2

だから

xP(x)を(x^2+x+1)で割った商は{Q(x)x+2}
余りは -3x-2
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具体例から言うと


2×5+7(=17)…③を5で割った余りは、
7を5で割った余りに等しいです

なぜならば、
5で割る割り算は、
6÷5=1余り1
7÷5=1余り2

11÷5=2余り1
12÷5=2余り2

というように、割られる数が5(=割る数)増減するたびに余りが一致するので
③から5の倍数である2×5を引き算した
 2×5+7
−)2×5
───────
   7

7も③と余りが一致するためです

この事は、割る数が5だけに限定されません
ご質問の
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)でも同じように考えて
xP(x)は、割る数=(x^2+x+1)だけ増減する毎に
余りが一致するはずですから
xPx)から(x^2+x+1)のQ(x)倍を差し引いた
x(2x-1)の余りはxP(x)の余りと一致すると言えます

次に
x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 *2
は、実際にx(2x-1) を(x^2+x+1) で割り算した時の余りを調べに行っています
公式は
割られる数=商×割る数+余り
なので、これに
割られる数=x(2x-1)
割る数= (x^2+x+1) を当てはめたときに
商の部分が2であり、肝心な余りの部分は−3x−2であることをしめしています
(商=q、余り=ax+b(二次式で割るときの余りは一次式以下)とおいて、恒等式の左辺と右辺の係数を比較してq、a、bを求めるのもよいし、x(2x-1) ÷ (x^2+x+1)の筆算を行って商と余りを求めるのも良いです )
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*1


なぜ等しくなるのでしょうか?

xP(x) = Q(x)(x^2+x+1) + 2(x^2+x+1) - 3x - 2
  = Q(x){ (x^2+x+1) + 2 } + (-3x - 2)
だから。

*2
ここは、何の計算をしているのでしょうか?

x(2x-1) を (x^2+x+1) で割った余りの計算をしている。
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