
整式P(x)をx^2+x+1で割った余りが2x-1であるとき、整式xp(x)をx^2+x+1で割った余りを求めよ
解答
P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①
①にXを掛けて
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)②
②より、xP(x)を(x^2+x+1)で割った余りは、x(2x-1)を(x^2+x+1)で割った余りに等しい *1
x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 *2
よって求める余りは-3x-2
*1
なぜ等しくなるのでしょうか?
*2
ここは、何の計算をしているのでしょうか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>>*1
>>なぜ等しくなるのでしょうか?
Q(x)(x^2+x+1)xは(x^2+x+1)で割り切れて余りは出ない。
余りがでるのはx(2x-1)を(x^2+x+1)で割ったほうに決まってる。
7=2×3+1:2で割った余りは1。
2×3は2で割り切れるから、1の方で余りが出る。
>>*2
>>ここは、何の計算をしているのでしょうか?
余りの計算
No.3
- 回答日時:
P(x) = Q(x)(x^2+x+1)+2x-1 ①
①にxを掛けて
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2x^2-x
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+2(x^2+x+1)-3x-2
xP(x)={Q(x)x+2}(x^2+x+1)-3x-2
だから
xP(x)を(x^2+x+1)で割った商は{Q(x)x+2}
余りは -3x-2
No.2
- 回答日時:
具体例から言うと
2×5+7(=17)…③を5で割った余りは、
7を5で割った余りに等しいです
なぜならば、
5で割る割り算は、
6÷5=1余り1
7÷5=1余り2
…
11÷5=2余り1
12÷5=2余り2
…
というように、割られる数が5(=割る数)増減するたびに余りが一致するので
③から5の倍数である2×5を引き算した
2×5+7
−)2×5
───────
7
7も③と余りが一致するためです
この事は、割る数が5だけに限定されません
ご質問の
xP(x)=Q(x)(x^2+x+1)x+x(2x-1)でも同じように考えて
xP(x)は、割る数=(x^2+x+1)だけ増減する毎に
余りが一致するはずですから
xPx)から(x^2+x+1)のQ(x)倍を差し引いた
x(2x-1)の余りはxP(x)の余りと一致すると言えます
次に
x(2x-1) = 2 (x^2+x+1) -3x-2 *2
は、実際にx(2x-1) を(x^2+x+1) で割り算した時の余りを調べに行っています
公式は
割られる数=商×割る数+余り
なので、これに
割られる数=x(2x-1)
割る数= (x^2+x+1) を当てはめたときに
商の部分が2であり、肝心な余りの部分は−3x−2であることをしめしています
(商=q、余り=ax+b(二次式で割るときの余りは一次式以下)とおいて、恒等式の左辺と右辺の係数を比較してq、a、bを求めるのもよいし、x(2x-1) ÷ (x^2+x+1)の筆算を行って商と余りを求めるのも良いです )
No.1
- 回答日時:
*1
なぜ等しくなるのでしょうか?
xP(x) = Q(x)(x^2+x+1) + 2(x^2+x+1) - 3x - 2
= Q(x){ (x^2+x+1) + 2 } + (-3x - 2)
だから。
*2
ここは、何の計算をしているのでしょうか?
x(2x-1) を (x^2+x+1) で割った余りの計算をしている。
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