【数学】 この問題の解き方が分かりません。 ①と②は何となく分かるのですが、③の答えがどうしてこうな

【数学】
この問題の解き方が分かりません。
①と②は何となく分かるのですが、③の答えがどうしてこうなるのか分からず、④でのグラフをどう書けば良いのかも分かりません。

私はとても頭が悪いので分かりやすく説明していただけると助かります。よろしくお願いします。

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2025/01/18 17:22

y=x^2-4x+3=f(x)とおけば

1) f(x)=(x-1)(x-3) から　(1,0),(3,0)
2) f(0)=3 から　(0,3)
3) 2次関数の軸の式は　x=(3-1)=2
また　f(2)=2^2-4・2+3=-1 から　頂点(2,-1)
または　平方完成から
F(x)=(x-2)^2 -2^2 +3=(x-2)^2 -1 から　軸の式;x=2 頂点(2,-1)
4) x軸との交点(1,0),(3,0)　y切片(0,3) を頂点(2,-1)をプロットして　
x=2で折り返すように作図する

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/17 19:40

(4) ができたら、頂点と軸の他に

a による放物線の開き具合を示すために
どこかフラフ上の 1点の座標を書き込んでおけば十分。

質問の問題では、 1点どころか
(1)(2) で計 3点の座標が判っている。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/17 18:57

二次関数の式は、多項式として整理して書くことを優先して

y = ax^2 + bx + c …① と表記するのが通常ですが、
その関数の性質を考える、特にグラフを描いたりするときには
y = a(x - p)^2 + q …② の形で書いておくのが便利です。
① を ② に変形することを「平方完成」といい、
二次方程式、二次関数の最重要事項です。
見たことないなら、この質問で済まさずに、必ず教科書を読むべきでしょう。

② の括弧を展開すると、 y = ax^2 - 2apx + ap^2 + q となります。
この式を ① と比べると、 b, c と p, q の間に
b = 2ap,
c = ap^2 + q　…④
の関係があることが判ります。式を変形すれば
p = b/(2a),　　　　　　　　　…③
q = c - ap^2 = c - (b^2)/(4a)　…④
です。こうやって ① の式から ② の係数が判ります。

② の式を
x = p + X,　…⑤
y = q + Y　…⑥
で変換すると、
Y = aX^2　…⑦
になります。

二次関数のグラフを考える上で、⑦ のグラフはよく知っていること
がお約束になっています。
⑦ のグラフは (X,Y) = (0,0) を頂点とし、X = 0 を軸に持つ放物線です。
ついでに言えば、a > 0 のとき下凸、a < 0 のとき上凸です。

⑤⑥ は、⑦ 上の点 (X,Y) を x軸方向に +p、 y軸方向に +q 平行移動すると
点 (x,y) になることを示していますから、
⑦ を x軸方向に +p、 y軸方向に +q 平行移動した曲線が ①
だということになります。よって、
① のグラフは (x,y) = (p,q) を頂点とし、x = p を軸に持つ放物線です。

今回は、 a = 1, b = -4, c = 3 ですから、③④によれば
① の頂点は (p,q) = (2,1), 軸は x = p = 2 になりますね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/17 09:38

「平方完成」ということを習いませんでしたか？

習っていたら復習を、習っていなかったら学びましょう。

y = k(x - a)^2 + b　　　　①
という形を作ると、
・(x - a)^2 ≧ 0 （= 0 になるのは x = a のとき）
　つまり x=a のとき最小
・x = a のとき y = b
ということで
・k > 0 なら、y は x=a で最小となり、最小値は b
・k < 0 なら、y は x=a で最大となり、最大値は b
（k=0 だと「二次関数」にならないので対象外）

二次関数のグラフ（放物線）で「最大」「最小」になるのが「頂点」ですから、
・頂点の座標は (a, b)
ということが分かりますね。
「軸」とは、その放物線が「左右対称」になる中心線ですから、
・軸は x = a
ということになります。要するに「頂点を通る y 軸に平行な線」ですね。

お示しの式のでは
　y = x^2 - 4x + 3
　　= (x^2 - 4x + 4) - 1
　　= (x - 2)^2 - 1
ですから、
・頂点は (2, -1)
・軸は x = 2
ということが分かります。

(4) のグラフを書くときには、
(x - a)^2 の係数は、①の式で k = 1 > 0 ですから、
・頂点が最小となる、つまり「下に凸（上に開く）」放物線
です。
「下に凸」で、「頂点が (2, -1)」の放物線を書けばよいです。
とのときに、(1)(2) で求めた「x 軸との交点」「y 軸との交点」を通るように引けばよいです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/17 08:56

(1) y=0 として２次方程式を解く

(2) x=0 を代入して y を求める。
(3) 平方完成して軸を求め y を求めて頂点とする。
y = (x-2)^2 -1 → 軸 x=2 の時 y = -1
(4) Xにいろんな値を入れてそれぞれのYを求めてプロットするのが
基本。 (1, 0), (3, 0), (0, 3) を通り、軸に対して対称で
下に凸な２次関数になるから、大まかな形は簡単に分かる。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/17 04:23

y=x^2-4x+3

y=(x-2)^2-1