確率分布

確率変数Xの分散が5/36であるとき、確率変数Y=2X−3の分散が求められません。
わかる方いましたら、教えてもらえませんか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ssawatake 回答日時： 2025/01/18 19:30

分散は、(平均との差)²の平均の事。

xがnxになったらn²倍になるわけ。

なので、Y=2x−3の分散はxの分散の2²倍、つまり4倍。
(5/36)×4=5/9

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/21 11:03

No.1 です。

まだ解決しませんか？

教科書に導出方法なども書かれていると思いますが

・X の分布に対して、2X の分布は全体が2倍になります。
　「100点満点」のテストの点数を、単純に「200点満点」にしたようなものです。

・その分布に対して「-3」するということは、全体を「-3」するということです。全員の点数から一律に「3点減点」するということ。

以上のことから「Y = 2X - 3」は、「X の分布を2倍にして、一律 -3 したもの」ということになります。

X の平均を Ex とすれば、Y の平均は
　Ey = 2Ex - 3
になるのは分かりよね。
たとえば、10人のテストの点数が X1～X10 だったときに、その平均は
　Ex = (X1 + X2 + ・・・ + X10)/10

分散は、「平均値との偏差」の2乗の平均ですから
　Vx = [(X1 - Ex)^2 + (X2 - Ex)^2 + ・・・ + (X10 - Ex)^2] /10

それが
　Y1 = 2X1 - 3
　Y2 = 2X2 - 3
　 ・・・
　Y10 = 2X10 - 3
になるのだから、Y の平均は
　Ey = (Y1 + Y2 + ・・・ + Y10)/10
　　= (2X1 - 3 + 2X2 - 3 + ・・・ + 2X10 - 3)/10
　　= (2X1 + 2X2 + ・・・ + 2X10)/10 - 3
　　= 2(X1 + X2 + ・・・ + X10)/10 - 3
　　= 2Ex - 3
ですね。

Y の分散も、定義どおりに求めれば
　Vy = [(Y1 - Ey)^2 + (Y2 - Ey)^2 + ・・・ + (Y10 - Ey)^2] /10
　　= { [2X1 - 3 - (2Ex - 3)]^2 + [2X2 - 3 - (2Ex - 3)]^2 + ・・・ + [2X10 - 3 - (2Ex - 3)]^2 } / 10
　　= { [2X1 - 2Ex]^2 + [2X2 - 2Ex]^2 + ・・・ + [2X10 - 2Ex]^2 } / 10　　　　←「-3」は各々相殺される
　　= { 4[X1 - Ex]^2 + 4[X2 - Ex]^2 + ・・・ + 4[X10 - Ex]^2 } / 10　　　　← 2^2 をそれぞれ外に出す
　　= 4{ [X1 - Ex]^2 + [X2 - Ex]^2 + ・・・ + [X10 - Ex]^2 } / 10　　　　← 4 を外に出す
　　= 4Vx
になりますね。

何も難しいことはない、定義どおりにやればよいだけ。
「統計」は「多数のデータ」を扱うので、単純な計算（算数の範囲）は面倒くさいけどね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/18 05:07

確率変数Xの分散

VX=E[(X-EX)^2]=5/36
であるとき

確率変数Y=2X−3の平均をEYとすると
分散は
VY=E[(Y-EY)^2]
だから

EY
=E(2X-3)
=E(2X)-3
=2EX-3

Y-EY
=2X-3-(2EX-3)
=2X-3-2EX+3
=2(X-EX)

(Y-EY)^2
={2(X-EX)}^2
=4(X-EX)^2

VY
=E[(Y-EY)^2]
=E[4(X-EX)^2]
=4E[(X-EX)^2]
=4VX
=4*5/36
=5/9

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/18 03:50

基本公式どおり、

Ver[Y] = Ver[2x-3] = Ver[2x] = (2^2)Ver[X] = 4Ver[X].

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/01/18 01:56

V(Y)=V(X+X)=V(X)+V(X)+2COV(X,X)

ここで、COV(X,X)=V(X) だから、

V(Y)=4V(X)

同じ値を2倍するということは常に同じ値を2つ足すのと同じです。その２つの値は独立ではないから、分散の加法性は成り立ちません。共分散を考えなければなりません。

ちなみに、身長Xの分散がV(X)であるクラスから、任意の2名を選んで身長の差を取った時の平均と分散は？と問われたら、２名の身長は同じ形の分布ではあるものの、各々独立した母集団から得られると考えてよいので、分散の加法性が成り立ちます。
平均＝０、分散＝2V(X)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/17 23:28

X の分布に対して、「Y = 2X - 3」の分布がどうなるか分かりますか？

X の平均 Xbar に対する Y の平均 Ybar は
　Ybar = 2Xbar - 3
になるでしょうね。

「分散」は「ばらつき方」ですから、値の平行移動「-3」は関係しませんね。
個別の「Y」の値は、対応する「X」の値の「2倍」になっているので、その「2乗のばらつき方」（「分散」は平均値からの偏差の「2乗」ですから）にあるのは分かりますか？
ということで、「Y の分散」は「X の分散」の4倍になります。

よって「Y の分散」は
　(5/36) × 4 = 5/9
です。

平均（期待値）、分散の公式は下記などを参照し、一生に一度は自分で公式を導出してみてください。
↓
https://manabitimes.jp/math/910#3