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No.3
- 回答日時:
下の写真は、級数 Σa[n] についての収束判定法。
上の写真は、その応用としての冪級数 Σa[n]x^n についての判定法。
上の話は、下の話の応用例です。
同じ a[n] を使うから紛らわしい。冪級数の方は Σc[n]x^n と書いて見ましょうか。
すると、a[n] = c[n]x^n に対して下の写真の収束判定法を使うことになるので、
lim|a[n+1]/an| = lim|{c[n+1]x^(n+1)}/{c[n]x^n}|
= lim|c[n+1]x/c[n]|
= |x| lim|c[n+1]/c[n]| となって、
lim|c[n]/c[n+1]| = r が収束するなら
lim|a[n+1]/an| = |x|/r が収束することになります。
下の判定法の収束条件は lim|a[n+1]/an| < 1 で収束
lim|a[n+1]/an| > 1 で発散なのだから、
Σc[n]x^n は |x|/r < 1 すなわち |x| < r で収束
|x|/r > 1 すなわち |x| > r で発散することになります。
この状況から、 r のことを収束「半径」と呼ぶのでした。
a[n] や r をの記号を、上の話と下の話で
別の意味で使っているから、混乱してしまっただけでしょう。
No.1
- 回答日時:
上の式でb(n)=a(n)*x^nと置くと下の式での判定法を用いると
0≦|b(n+1)/b(n)|=|a(n+1)/a(n)|*|x|<1あれば絶対収束する。
この式を変形して
|x|<|a(n)/a(n+1)|の範囲内で上の式の級数は絶対収束することがわかる。
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