今年はじめたいことは?

ダランベールの判定法についてですが、上の写真は大学の講義資料に書かれているもので、下の写真はサイトに書かれていたものです。(これ以外のサイトにも下の写真のように書かれていました)
上と下では意味合いが若干違うように感じますが、どちらが正しいのでしょうか?

「ダランベールの判定法についてですが、上の」の質問画像

A 回答 (3件)

下の写真は、級数 Σa[n] についての収束判定法。


上の写真は、その応用としての冪級数 Σa[n]x^n についての判定法。
上の話は、下の話の応用例です。

同じ a[n] を使うから紛らわしい。冪級数の方は Σc[n]x^n と書いて見ましょうか。
すると、a[n] = c[n]x^n に対して下の写真の収束判定法を使うことになるので、
lim|a[n+1]/an| = lim|{c[n+1]x^(n+1)}/{c[n]x^n}|
       = lim|c[n+1]x/c[n]|
       = |x| lim|c[n+1]/c[n]| となって、
lim|c[n]/c[n+1]| = r が収束するなら
lim|a[n+1]/an| = |x|/r が収束することになります。

下の判定法の収束条件は lim|a[n+1]/an| < 1 で収束
            lim|a[n+1]/an| > 1 で発散なのだから、
Σc[n]x^n は |x|/r < 1 すなわち |x| < r で収束
      |x|/r > 1 すなわち |x| > r で発散することになります。
この状況から、 r のことを収束「半径」と呼ぶのでした。

a[n] や r をの記号を、上の話と下の話で
別の意味で使っているから、混乱してしまっただけでしょう。
    • good
    • 1

どちらも正しい

「ダランベールの判定法についてですが、上の」の回答画像2
    • good
    • 0

上の式でb(n)=a(n)*x^nと置くと下の式での判定法を用いると


0≦|b(n+1)/b(n)|=|a(n+1)/a(n)|*|x|<1あれば絶対収束する。
この式を変形して
|x|<|a(n)/a(n+1)|の範囲内で上の式の級数は絶対収束することがわかる。
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


おすすめ情報

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A