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No.2
- 回答日時:
f(x)=1/(4+x^2)^2=1/{(x+2i)(x-2i)}^2
f(x) は x=2i で2位の極を持つから
留数公式から
Res(f(x),2i)
=lim[x→2i](d/dx){f(x)(x-2i)^2}
=lim[x→2i](d/dx){1/(x+2i)^2}
=lim[x→2i]-2/(x+2i)^3
=-2/(4i)^3
=-i/32

No.1
- 回答日時:
f(x) = 1/(x^2+4)^2 = 1/( (x-2i)^2 (x+2i)^2 ) は、
x = ±2i にそれぞれ 2位の極を持ちます。
x = 2i における留数は、 x = 2i + h と置いて
h に関する部分分数分解を行うと
f(x) = 1/( h^2 (h+4i)^2 )
= (-1/16)/h^2 + (-i/32)/h + (-1/16)/(h+4i)^2 + (i/32)/(h+4i)
となることから、Res[f(x),2i] = -i/32 です。
Res[f(x),-2i] も同様に計算できますが、今回はその値は使いません。
実軸上を -R から R へ向かう経路を I,
原点中心の上半円しゅうを通って R から -R へ向かう経路を H として、
閉路 I + H での f(x) の積分を考えます。 R > 2 のとき
留数定理より ∮[I+H] f(x)dx = Res[f(x),2i]・2πi = π/16 です。
経路を分割して ∮[I+H] f(x)dx = ∫[I] f(x)dx + ∫[H] f(x)dx ですが、
この式は任意の R について成り立つため、 R→+∞ の極限において
π/16 = ∫[-∞,+∞] f(x)dx + lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx が成り立ちます。
あとは、lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx の処理ですね。
x ∈ H のとき x = R e^(iθ), θ ∈ [0,π]
と置くことができ、
x^2 + 4 = (R^2) e^(2iθ)+ 4
= { (R^2)cos(2θ) + 4 } + i{ (R^2)sin(2θ) }
より
|x^2 + 4|^2 = { (R^2)cos(2θ) + 4 }^2 + { (R^2)sin(2θ) }^2
= R^4 + 8(R^2)cos(2θ) + 16
≧ R^4 + 8(R^2)(-1) + 16 ;等号成立は2θ=πのとき
= (R^2 - 4)^2.
これを使って、
|∫[H] f(x)dx| ≦ ∫[H] |f(x)|dx
= ∫[H] { 1/|x^2 + 4|^2 }dx
≦ ∫[H] { 1/|R^2 - 4|^2 }dx
= { 1/|R^2 - 4|^2 } ・ ∫[H] 1dx
= { 1/|R^2 - 4|^2 } ・ πR.
R→+∞ の極限を考えると、
|lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx| = lim[R→+∞] |∫[H] f(x)dx|
≦ lim[R→+∞] πR/|R^2 - 4|^2 = 0
より
lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx = 0.
以上をまとめると、
∫[-∞,+∞] f(x)dx = π/16 です。
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