(R+; ×) から (R; +) への f(x) = log(x) (R; +) から (R; ×

(R+; ×) から (R; +) への f(x) = log(x)

(R; +) から (R; ×) への f(x) = e^x
これらが準同型写像か同型写像か答えよ
この問題で準同型か同型かどうやって見分ければいいですか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 09:08

＞ 今回のlogの場合はlog1=0で

＞ +と×との単位元が対応してるから同型写像ということですか？

同型写像は、準同型写像でなければなりません。
準同型写像は単位元を単位元へ移すので、同型性を言うのに
いちいち単位元の対応を確認する必要もないんですけど。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/27 13:43

＞ 同型写像は全単射じゃないといけなくて

＞ e^xだとRをすべて表すことができないから準同型写像ということですか？

e^x が準同型写像であることは、e^(x+y) = (e^x)(e^y) によって確かめられます。

同型写像の定義は、その写像自身とその写像の逆写像が準同型写像であること
ですから、逆写像が存在しなければ、そもそも話になりません。
e^x は、単射ですが R への全射ではないので、同型写像ではありません。

終域を値域に制限して、(R,+) から (R+,×) で考えれば、
e^x は同型写像になっています。

この回答へのお礼

今回のlogの場合はlog1=0で+と×との単位元が対応してるから同型写像ということですか？

お礼日時：2025/01/28 22:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/26 01:10

R の任意の元 ｘ，y について、 e^(x+y) = (e^x)・(e^y) が成り立つ。

よって、 e^x は (R,+) から (R,×) への群準同型である。
e^x は R への全射でないから、 (R,+) から (R,×) への群同型ではない。

e^x は単射なので、
e^x の値域 R+ := { x∈R | x>0 } を考えると
e^x は (R,+) から (R+,×) への全単射群準同型すなわち群同型である。

(R+,×) から (R,+) への log x は、
(R,+) から (R+,×) への e^x の逆写像であり、群同型である。

この回答へのお礼

同型写像は全単射じゃないといけなくてe^xだとRをすべて表すことができないから準同型写像ということですか？

お礼日時：2025/01/26 19:40

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/25 20:42

(R+; ×) から (R; +) への f(x) = log(x)

a∈R+
b∈R+
f(ab)=log(ab)=log(a)+log(b)=f(a)+f(b)
だから
fは準同形
y∈R に対して　x=e^y とすると
x=e^y∈R+
f(x)=log(e^y)=y だから
fは全射
a∈R+
b∈R+
f(a)=f(b)とすると
log(a)=f(a)=f(b)=log(b)
a=e^{log(a)}=e^{log(b)}=b
だから
fは単射
だから
fは全単射準同形だから
(R+; ×) から (R; +) への f(x) = log(x)
の
fは同型

(R; +) から (R; ×) への f(x) = e^x
a∈R
b∈R
f(a+b)=e^{a+b}=(e^a)(e^b)=f(a)f(b)
だから
fは準同形

x∈R のとき
f(x)=e^x>0
だから
f(x)=e^x=0 となるようなxは存在しないから
fは全射でないから
(R; +) から (R; ×) への f(x) = e^x
の
fは同型でない準同形

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/25 20:20

「準同型写像」「同型写像」の定義を満たしているかどうかで見分ければいい.