袋の中に赤玉6個と白玉6個を入れるとき、赤玉の個数と白玉の個数の差が2個以内になるようにして、全部入

袋の中に赤玉6個と白玉6個を入れるとき、赤玉の個数と白玉の個数の差が2個以内になるようにして、全部入れる方法は何通りあるか。
ただし赤玉も白玉も1個ずつ袋に入れるとする。

解答は486通りです。高校受験の問題です。解き方を教えて下さい。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/29 16:16

袋に赤玉 r 個、白玉 w 個が入っている状態を、方眼紙の座標 (r,w) で表そう。

その座標上に、その状態が生じるような玉の入れ方の総数を書き込む。
最初は座標 (r,w)=(0,0) にいて、玉をひとつ袋に入れるたびに
r 座標か w 座標かのどちらかが 1 増える。
途中ずっと |r - w| ≦ 2 でなければならないので、下図のグレーの中へは入れない。
(0,0) に書き込む数値は「1 通り」を表す 1 であり、その後、各座標に書き込む数値は
左隣りの数値と下隣の数値の和になる。
(0,0) の 1 から始めて、上記の手順で数値を書き込んでゆくと、
(6,6) に書き込む数値は 486 になった。これが、問題の答え。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 11:29

>赤と青の個数で場合分けの個数を出しながら

誤字(^^;
赤と白の個数で場合分けの個数を出しながら

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 10:24

地道にやってみたら簡単でした(^^;

赤と青の個数で場合分けの個数を出しながら
1個づつ球を加えてゆくという方針です。

最初の3個は
①赤2個白1個のケース3通り
②赤1個白2個のケース3通り

4個目を加えると
①赤3個白1個のケース3通り
②赤2個白2個のケース6通り
③赤1個白3個のケース3通り

5個目を加えると
①赤3個白2個のケース9通り
②赤2個白3個のケース9通り
#赤4白1、赤1白4のケースは除外

6個目を加えると
①赤4個白2個のケース9通り
②赤3個白3個のケース18通り
③赤2個白4個のケース9通り

７個目を加えると
①赤4個白3個のケース27通り
②赤3個白4個のケース27通り
#赤5白2、赤2白5のケースは除外

8個目を加えると
①赤5個白3個のケース27通り
②赤4個白4個のケース54通り
③赤3個白5個のケース27通り

9個目を加えると
①赤5個白4個のケース81通り
②赤4個白5個のケース81通り
#赤6白3、赤3白6のケースは除外

10個目を加えると
①赤6個白4個のケース81通り
②赤5個白5個のケース162通り
③赤4個白6個のケース81通り

11個目を加えると
①赤6個白5個のケース243通り
②赤5個白6個のケース243通り
#赤7白4、赤4白7のケースは除外(赤と白はそれぞれ6個しかないから)

12個目を加えると
①赤6個白6個のケース486通り
#赤7白5、赤5白7のケースは除外(赤と白はそれぞれ6個しかないから)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/01/29 08:50

総当たりで調べると確かに486ですね。

さて、楽に数える方法あるかな？

No.2 回答者： tateisu 回答日時： 2025/01/28 23:10

中学の範囲では無理なのでは？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/01/28 22:13

全部数える