この問題角度Θで切って底面の面積を使って正射影なので、、、として断面の面積もとめて0から45でΘをう

この問題角度Θで切って底面の面積を使って正射影なので、、、として断面の面積もとめて0から45でΘをうごして体積もとめれますか？自分でやってみたんですが計算が合わなくて、

No.13 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/04 21:41

∫断面積dθ では体積は出ないことは分かってますよね？

dθは無次元量だから面積に掛けても体積になるわけがない。

微小体積は
断面積×補正換算係数×Δθ
で求まるんだけど、補正換算係数は実はABから半楕円の重心までの
距離なんだよね。これは {4/(3π)}(a/cosθ)だから

微小体積＝ (1/2)πa^2/cosθ・ {4/(3π)}(a/cosθ)・Δθ
= (2/3)a^3/(cosθ)^2・Δθ

このやり方は、回転体の体積の定理
パップスギュルタンの定理から導ける。

まあ、この問題は楕円だから素直に回転楕円体の体積を利用するのが楽。
半楕円の重心の計算めんどいし。

この回答へのお礼

お恥ずかしながら空間の積分をいままでずっとそのように考えてました。ぼくの積分の考え方はある位置での断面積をもとめて、その位置をインテグラルで微小分うごかしていく。(例えばxy座標上の回転体の体積でx=kのときの断面積をもとめて、kをうごかしたものをたす。という作業だと考えていた。)今回の問題でもあるΘでの断面積がわかるのでその断面積をたしあわせる。という考えで望みました。そのときのdΘやdxを形式的にしか考えてませんでしたが、ちがうのですね。まだ理解が追い付いてないとこもあるので熟読させていただきます。

お礼日時：2025/02/04 21:50

No.14 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/05 13:28

だから、ずっとそう言い続けてるじゃんよ。

No.12 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/04 20:53

＞ 面積がdΘだけに依存してないからという解釈で良いですか？

この期に及んで、何しらばっくれてるの？

∫ (断面積) d(厚さ) の計算のうち、θ で積分しようとすると
(断面積) よりもむしろ (厚さ) のほうに問題がある
って繰り返し繰り返し言ってるでしょう？
とぼけるのも、たいがいにしないと。

No.11 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/04 18:12

同じことを何度言っても伝わらないので、ちょと図解してみる。

図１ のように平行な平面群で切ると、各ピースが厚さ均一になっているので
厚さが小さければほぼ柱状とみなすことができ、
ピースの体積が 断面積×厚さ で近似できる。
これが、dx とか dy とかで積分して体積が求まる理由。

図2 のように θ を動かして切断すると、ナナメにスライスされているために
ピースの厚さが場所によって異なり、
ピースの体積を 断面積×厚さ で考えることができない。
そもそも、この切り方で「厚さ」ってどこの長さのことや？
これが、dθ で積分して体積が求められない理由。

この回答へのお礼

面積がdΘだけに依存してないからという解釈で良いですか？

お礼日時：2025/02/04 20:45

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/04 15:42

No.7です。

>なぜ求まらないのでしょうか。教えていただきたいです

θとθ+Δθで切ってできた薄いものの微小体積は、単純に
断面積だけに比例しないでしょ。
ABに近い部分はより薄いので体積にあまり寄与せず
ABから遠いほど厚いので、より体積に寄与します。
つまり断面の「形」の違いで同じ断面積でも微小体積が違ってくる。

なので断面積だけでなんとかしようというのは無理なんです。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/04 14:10

＞ なぜ微小体積にならないのでしょうか。

もう何度も言ったでしょう？
一個一個の断片が、柱状で近似でされていないので、
体積が 断面積×高さ にはならないからです。

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/04 13:30

＞ この求めた面積を0から45度で積分することはできるのかということです

あまりに突拍子ない考えなので、すぐには気づかなかったが、もしかして
https://mathscience-teach.com/koukoumath-sekibun …
↑の S1 を使って ∫[0,π/4] S1 dθ で体積が求まるか って話をしてる？

∫[0,π/4] S1 dθ じゃあ、単位が面積にしかならないので、
それが体積を表すワケがない。
∫[0,π/4] S1 (a dθ) や ∫[0,π/4] S1 d(a tanθ) に改訂してみても、
計算結果が No.2 や No.3 と合わない。

なぜダメかというと、理由は、No.4 に書いたとおり
あなたの切り方ではナナメにスライスしているため
面積×厚さ が微小体積にならないから。
だから、最初から平行な平面群で切れ って言っているでしょ。

この回答へのお礼

なぜ微小体積にならないのでしょうか。0から45まであつめて１つの求める体積になるのでいけそうな気がするのですが。

お礼日時：2025/02/04 13:53

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/02/03 22:10

こういう話かな?

円柱を角度θ、θ+dθで切ると、両角度に挟まれた部分の体積は
(4/3)πa(a/cosθ)^2・(Δθ/(2π)=(2/3)a^3/(cosθ)^2・Δθ
切断面の面積じゃ体積は求まらないのであなたの目論見はNG
でも回転楕円体からΔθ切り出すと考えれば欲しい体積は求まる
#回転楕円体の体積=(4/3)πa(a/cosθ)^2 を使った。

これをθ=0~π/4で積分すると
(2/3)a^3
#∫1/(cosθ)^2dθ=sinθ/cosθ=tanθ (積分定数省) を使った。

この回答へのお礼

なぜ求まらないのでしょうか。教えていただきたいです

お礼日時：2025/02/04 13:54

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/03 20:49

No.1 の方法は、No.3 の座標で x軸にそって積分するもの。

No.2 氏の方法は、座標軸の名前が違うが、
No.3 の座標で言えば y軸にそって積分するものだ。
ついでに、 z軸にそって積分する計算も書いてみよう。

ｚ 一定の断面は
x^2 + y^2 ≦ a^2,
z ≦ x
という弓形になる。
(断面積) = (弓形の面積) = (扇形の面積) - (三角形の面積)
　　　　= (a^2)arccos(z/a) - z√(a^2 - z^2)
だから、
(体積) = ∫[0,a]{ (a^2)arccos(z/a) - z√(a^2 - z^2) }dz
と書ける。

ところで、z とあなたの θ の間には
z = a tanθ の関係があるから、置換積分すると
(体積) = (a^3)∫[0,π/4]{ arccos(tanθ) - (tanθ)√(1 - (tanθ)^2) } { 1/(cosθ)^2 }ｄθ,

(体積)/a^3 = ∫[0,π/4] { arccos(tanθ)/(cosθ)^2 }ｄθ
　　　　　　- ∫[0,π/4] { (tanθ)√(1 - (tanθ)^2) /(cosθ)^2 }ｄθ

まあ、これで θ にそって積分する式が逆算から作られたことになるが...
この式、なんとかなる？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/03 19:54

＞ ぼくの考えていることと少しちがうように感じられます。

そうかな？ あなたの「切り方」で積分する話をしているんだが。

問題の図形のうち「角度」が θ〜θ+dθ である部分を
円柱の軸方向へ「正射影」して考えると、その体積は
「角度」が 0〜dθ である部分の体積の d(tanθ)/dθ = 1/(cosθ)^2 倍
であることが判る。

「角度」が 0〜dθ である部分の体積 を V(dθ) と書けば
(求めたい体積) = ∫[0,π/4] V(dθ){ 1/(cosθ)^2 }
　　　　　　　= ∫[0,π/4] { V(dθ)/dθ }{ 1/(cosθ)^2 } dθ
という式になるが、
V(dθ)/dθ = V’(0) の値を求める方法が必要になる。
それが得られるのか？ という話。